Theorem cbvralv 2652

Description: Change the bound variable of a restricted universal quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 28-Jan-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvralv	|- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A ps )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem cbvralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1508	. 2 |- F/ y ph
2		nfv 1508	. 2 |- F/ x ps
3		cbvralv.1	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	cbvral 2648	1 |- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wral 2414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419

This theorem is referenced by:  cbvral2v  2660  cbvral3v  2662  reu7  2874  reusv3i  4375  omsinds  4530  cnvpom  5076  f1mpt  5665  grprinvlem  5958  grprinvd  5959  tfrlem1  6198  tfrlemiubacc  6220  tfrlemi1  6222  tfr1onlemubacc  6236  tfr1onlemaccex  6238  tfrcllembxssdm  6246  tfrcllemubacc  6249  tfrcllemaccex  6251  tfrcllemres  6252  tfrcldm  6253  rdgon  6276  frecfcllem  6294  frecsuclem  6296  nneneq  6744  fimax2gtrilemstep  6787  supubti  6879  suplubti  6880  finomni  7005  acfun  7056  ccfunen  7072  cauappcvgprlemladdrl  7458  caucvgprlemcl  7477  caucvgprlemladdrl  7479  caucvgsrlembound  7595  caucvgsrlemgt1  7596  caucvgsrlemoffres  7601  suplocsrlem  7609  peano5nnnn  7693  axcaucvglemres  7700  axpre-suploc  7703  suprleubex  8705  nnsub  8752  supinfneg  9383  infsupneg  9384  ublbneg  9398  exbtwnzlemex  10020  uzsinds  10208  iseqovex  10222  seq3val  10224  seqvalcd  10225  seqf  10227  seqovcd  10229  monoord2  10243  iseqf1olemjpcl  10261  iseqf1olemqpcl  10262  seq3f1olemqsum  10266  seq3f1olemp  10268  seq3f1oleml  10269  seq3f1o  10270  bccl  10506  seq3shft  10603  caucvgre  10746  cvg1nlemcau  10749  resqrexlemglsq  10787  resqrexlemsqa  10789  resqrexlemex  10790  cau3lem  10879  zsumdc  11146  fsum3  11149  isumz  11151  isumss2  11155  fsumsersdc  11157  fsum3ser  11159  fisum0diag2  11209  cvgratnnlemnexp  11286  cvgratnnlemmn  11287  cvgratz  11294  mertenslem2  11298  mertensabs  11299  bezoutlemmain  11675  bezoutlemex  11678  bezoutlemzz  11679  bezoutlemeu  11684  bezoutlemle  11685  dfgcd3  11687  prmind2  11790  sqrt2irr  11829  hashdvds  11886  ennnfoneleminc  11913  ennnfonelemex  11916  ennnfonelemr  11925  ctinfom  11930  ctinf  11932  ctiunctlemudc  11939  tgcn  12366  mulcncflem  12748  suplociccreex  12760  dedekindicc  12769  nnsf  13188  nninfsellemqall  13200  nninfomni  13204