Theorem cbvralv 2738

Description: Change the bound variable of a restricted universal quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 28-Jan-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvralv	|- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A ps )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem cbvralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1551	. 2 |- F/ y ph
2		nfv 1551	. 2 |- F/ x ps
3		cbvralv.1	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	cbvral 2734	1 |- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wral 2484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1484  df-sb 1786  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489

This theorem is referenced by:  cbvral2v  2751  cbvral3v  2753  reu7  2968  reusv3i  4506  omsinds  4670  cnvpom  5225  f1mpt  5840  tfrlem1  6394  tfrlemiubacc  6416  tfrlemi1  6418  tfr1onlemubacc  6432  tfr1onlemaccex  6434  tfrcllembxssdm  6442  tfrcllemubacc  6445  tfrcllemaccex  6447  tfrcllemres  6448  tfrcldm  6449  rdgon  6472  frecfcllem  6490  frecsuclem  6492  nneneq  6954  fimax2gtrilemstep  6997  supubti  7101  suplubti  7102  finomni  7242  nninfwlporlemd  7274  nninfinfwlpo  7282  acfun  7319  exmidontriimlem3  7335  exmidontriimlem4  7336  exmidontriim  7337  ccfunen  7376  cc2  7379  cauappcvgprlemladdrl  7770  caucvgprlemcl  7789  caucvgprlemladdrl  7791  caucvgsrlembound  7907  caucvgsrlemgt1  7908  caucvgsrlemoffres  7913  suplocsrlem  7921  peano5nnnn  8005  axcaucvglemres  8012  axpre-suploc  8015  suprleubex  9027  nnsub  9075  supinfneg  9716  infsupneg  9717  infregelbex  9719  ublbneg  9734  zsupssdc  10381  exbtwnzlemex  10392  uzsinds  10589  iseqovex  10603  seq3val  10605  seqvalcd  10606  seqf  10609  seqovcd  10612  monoord2  10631  iseqf1olemjpcl  10653  iseqf1olemqpcl  10654  seq3f1olemqsum  10658  seq3f1olemp  10660  seq3f1oleml  10661  seq3f1o  10662  nn0ltexp2  10854  bccl  10912  seq3shft  11149  caucvgre  11292  cvg1nlemcau  11295  resqrexlemglsq  11333  resqrexlemsqa  11335  resqrexlemex  11336  cau3lem  11425  zsumdc  11695  fsum3  11698  isumz  11700  isumss2  11704  fsumsersdc  11706  fsum3ser  11708  fisum0diag2  11758  cvgratnnlemnexp  11835  cvgratnnlemmn  11836  cvgratz  11843  mertenslem2  11847  mertensabs  11848  zproddc  11890  fprodseq  11894  prod1dc  11897  fprodsplitdc  11907  bezoutlemmain  12319  bezoutlemex  12322  bezoutlemzz  12323  bezoutlemeu  12328  bezoutlemle  12329  dfgcd3  12331  prmind2  12442  sqrt2irr  12484  hashdvds  12543  ennnfoneleminc  12782  ennnfonelemex  12785  ennnfonelemr  12794  ctinfom  12799  ctinf  12801  ctiunctlemudc  12808  ssnnctlemct  12817  nninfdclemp1  12821  mplsubgfilemcl  14461  tgcn  14680  mulcncflem  15079  suplociccreex  15096  dedekindicc  15105  nnsf  15942  nninfsellemqall  15952  nninfomni  15956  trirec0  15983  apdiff  15987  iswomni0  15990  dceqnconst  15999  dcapnconst  16000  neap0mkv  16008  ltlenmkv  16009