Theorem cbvralv 2692

Description: Change the bound variable of a restricted universal quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 28-Jan-1997.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvralv	|- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A ps )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem cbvralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. 2 |- F/ y ph
2		nfv 1516	. 2 |- F/ x ps
3		cbvralv.1	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	cbvral 2688	1 |- ( A. x e. A ph <-> A. y e. A ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wral 2444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449

This theorem is referenced by:  cbvral2v  2705  cbvral3v  2707  reu7  2921  reusv3i  4437  omsinds  4599  cnvpom  5146  f1mpt  5739  tfrlem1  6276  tfrlemiubacc  6298  tfrlemi1  6300  tfr1onlemubacc  6314  tfr1onlemaccex  6316  tfrcllembxssdm  6324  tfrcllemubacc  6327  tfrcllemaccex  6329  tfrcllemres  6330  tfrcldm  6331  rdgon  6354  frecfcllem  6372  frecsuclem  6374  nneneq  6823  fimax2gtrilemstep  6866  supubti  6964  suplubti  6965  finomni  7104  acfun  7163  exmidontriimlem3  7179  exmidontriimlem4  7180  exmidontriim  7181  ccfunen  7205  cc2  7208  cauappcvgprlemladdrl  7598  caucvgprlemcl  7617  caucvgprlemladdrl  7619  caucvgsrlembound  7735  caucvgsrlemgt1  7736  caucvgsrlemoffres  7741  suplocsrlem  7749  peano5nnnn  7833  axcaucvglemres  7840  axpre-suploc  7843  suprleubex  8849  nnsub  8896  supinfneg  9533  infsupneg  9534  infregelbex  9536  ublbneg  9551  exbtwnzlemex  10185  uzsinds  10377  iseqovex  10391  seq3val  10393  seqvalcd  10394  seqf  10396  seqovcd  10398  monoord2  10412  iseqf1olemjpcl  10430  iseqf1olemqpcl  10431  seq3f1olemqsum  10435  seq3f1olemp  10437  seq3f1oleml  10438  seq3f1o  10439  nn0ltexp2  10623  bccl  10680  seq3shft  10780  caucvgre  10923  cvg1nlemcau  10926  resqrexlemglsq  10964  resqrexlemsqa  10966  resqrexlemex  10967  cau3lem  11056  zsumdc  11325  fsum3  11328  isumz  11330  isumss2  11334  fsumsersdc  11336  fsum3ser  11338  fisum0diag2  11388  cvgratnnlemnexp  11465  cvgratnnlemmn  11466  cvgratz  11473  mertenslem2  11477  mertensabs  11478  zproddc  11520  fprodseq  11524  prod1dc  11527  fprodsplitdc  11537  zsupssdc  11887  bezoutlemmain  11931  bezoutlemex  11934  bezoutlemzz  11935  bezoutlemeu  11940  bezoutlemle  11941  dfgcd3  11943  prmind2  12052  sqrt2irr  12094  hashdvds  12153  ennnfoneleminc  12344  ennnfonelemex  12347  ennnfonelemr  12356  ctinfom  12361  ctinf  12363  ctiunctlemudc  12370  ssnnctlemct  12379  nninfdclemcl  12381  nninfdclemp1  12383  tgcn  12848  mulcncflem  13230  suplociccreex  13242  dedekindicc  13251  nnsf  13885  nninfsellemqall  13895  nninfomni  13899  trirec0  13923  apdiff  13927  iswomni0  13930  dceqnconst  13938  dcapnconst  13939