Theorem f1ovi 5414

Description: The identity relation is a one-to-one onto function on the universe. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovi	|- _I : _V -1-1-onto-> _V

Proof of Theorem f1ovi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5413	. 2 |- ( _I |` _V ) : _V -1-1-onto-> _V
2		reli 4676	. . . 4 |- Rel _I
3		dfrel3 5004	. . . 4 |- ( Rel _I <-> ( _I |` _V ) = _I )
4	2, 3	mpbi 144	. . 3 |- ( _I |` _V ) = _I
5		f1oeq1 5364	. . 3 |- ( ( _I |` _V ) = _I -> ( ( _I |` _V ) : _V -1-1-onto-> _V <-> _I : _V -1-1-onto-> _V ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( ( _I |` _V ) : _V -1-1-onto-> _V <-> _I : _V -1-1-onto-> _V )
7	1, 6	mpbi 144	1 |- _I : _V -1-1-onto-> _V

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1332   _Vcvv 2689   _I cid 4218   |` cres 4549   Rel wrel 4552   -1-1-onto->wf1o 5130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138

This theorem is referenced by: (None)