Theorem f1ovi 5539

Description: The identity relation is a one-to-one onto function on the universe. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovi	|- _I : _V -1-1-onto-> _V

Proof of Theorem f1ovi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5538	. 2 |- ( _I |` _V ) : _V -1-1-onto-> _V
2		reli 4791	. . . 4 |- Rel _I
3		dfrel3 5123	. . . 4 |- ( Rel _I <-> ( _I |` _V ) = _I )
4	2, 3	mpbi 145	. . 3 |- ( _I |` _V ) = _I
5		f1oeq1 5488	. . 3 |- ( ( _I |` _V ) = _I -> ( ( _I |` _V ) : _V -1-1-onto-> _V <-> _I : _V -1-1-onto-> _V ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( ( _I |` _V ) : _V -1-1-onto-> _V <-> _I : _V -1-1-onto-> _V )
7	1, 6	mpbi 145	1 |- _I : _V -1-1-onto-> _V

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   _Vcvv 2760   _I cid 4319   |` cres 4661   Rel wrel 4664   -1-1-onto->wf1o 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261

This theorem is referenced by:  residfi  6999