Theorem f1ovi 5617

Description: The identity relation is a one-to-one onto function on the universe. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovi	|- _I : _V -1-1-onto-> _V

Proof of Theorem f1ovi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5616	. 2 |- ( _I |` _V ) : _V -1-1-onto-> _V
2		reli 4854	. . . 4 |- Rel _I
3		dfrel3 5189	. . . 4 |- ( Rel _I <-> ( _I |` _V ) = _I )
4	2, 3	mpbi 145	. . 3 |- ( _I |` _V ) = _I
5		f1oeq1 5565	. . 3 |- ( ( _I |` _V ) = _I -> ( ( _I |` _V ) : _V -1-1-onto-> _V <-> _I : _V -1-1-onto-> _V ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( ( _I |` _V ) : _V -1-1-onto-> _V <-> _I : _V -1-1-onto-> _V )
7	1, 6	mpbi 145	1 |- _I : _V -1-1-onto-> _V

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   _Vcvv 2799   _I cid 4380   |` cres 4722   Rel wrel 4725   -1-1-onto->wf1o 5320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328

This theorem is referenced by:  residfi  7123