Theorem f1osn 5676

Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by NM, 18-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1osn.1	|- A e. _V
f1osn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
f1osn	|- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Proof of Theorem f1osn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osn.1	. . 3 |- A e. _V
2		f1osn.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	fnsn 5430	. 2 |- { <. A , B >. } Fn { A }
4	2, 1	fnsn 5430	. . 3 |- { <. B , A >. } Fn { B }
5	1, 2	cnvsn 5265	. . . 4 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
6	5	fneq1i 5470	. . 3 |- ( `' { <. A , B >. } Fn { B } <-> { <. B , A >. } Fn { B } )
7	4, 6	mpbir 146	. 2 |- `' { <. A , B >. } Fn { B }
8		dff1o4 5642	. 2 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> ( { <. A , B >. } Fn { A } /\ `' { <. A , B >. } Fn { B } ) )
9	3, 7, 8	mpbir2an 955	1 |- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Syntax hints:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3705   <.cop 3708   `'ccnv 4768   Fn wfn 5367   -1-1-onto->wf1o 5371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379

This theorem is referenced by:  f1osng  5677  fsn  5871  mapsn  6962  ensn1  7073  phplem2  7144  ac6sfi  7192  fxnn0nninf  10854  hashf1lem1  11263