Theorem f1osn 5628

Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by NM, 18-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1osn.1	|- A e. _V
f1osn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
f1osn	|- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Proof of Theorem f1osn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osn.1	. . 3 |- A e. _V
2		f1osn.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	fnsn 5386	. 2 |- { <. A , B >. } Fn { A }
4	2, 1	fnsn 5386	. . 3 |- { <. B , A >. } Fn { B }
5	1, 2	cnvsn 5221	. . . 4 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
6	5	fneq1i 5426	. . 3 |- ( `' { <. A , B >. } Fn { B } <-> { <. B , A >. } Fn { B } )
7	4, 6	mpbir 146	. 2 |- `' { <. A , B >. } Fn { B }
8		dff1o4 5594	. 2 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> ( { <. A , B >. } Fn { A } /\ `' { <. A , B >. } Fn { B } ) )
9	3, 7, 8	mpbir2an 950	1 |- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Syntax hints:   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   {csn 3670   <.cop 3673   `'ccnv 4726   Fn wfn 5323   -1-1-onto->wf1o 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335

This theorem is referenced by:  f1osng  5629  fsn  5822  mapsn  6864  ensn1  6975  phplem2  7044  ac6sfi  7092  fxnn0nninf  10707