Theorem f1osn 5503

Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by NM, 18-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1osn.1	|- A e. _V
f1osn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
f1osn	|- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Proof of Theorem f1osn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osn.1	. . 3 |- A e. _V
2		f1osn.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	fnsn 5272	. 2 |- { <. A , B >. } Fn { A }
4	2, 1	fnsn 5272	. . 3 |- { <. B , A >. } Fn { B }
5	1, 2	cnvsn 5113	. . . 4 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
6	5	fneq1i 5312	. . 3 |- ( `' { <. A , B >. } Fn { B } <-> { <. B , A >. } Fn { B } )
7	4, 6	mpbir 146	. 2 |- `' { <. A , B >. } Fn { B }
8		dff1o4 5471	. 2 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> ( { <. A , B >. } Fn { A } /\ `' { <. A , B >. } Fn { B } ) )
9	3, 7, 8	mpbir2an 942	1 |- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Syntax hints:   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   {csn 3594   <.cop 3597   `'ccnv 4627   Fn wfn 5213   -1-1-onto->wf1o 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225

This theorem is referenced by:  f1osng  5504  fsn  5690  mapsn  6692  ensn1  6798  phplem2  6855  ac6sfi  6900  fxnn0nninf  10440