ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1osn Unicode version

Theorem f1osn 5277
Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by NM, 18-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
f1osn.1  |-  A  e. 
_V
f1osn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
f1osn  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Proof of Theorem f1osn
StepHypRef Expression
1 f1osn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 f1osn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2fnsn 5054 . 2  |-  { <. A ,  B >. }  Fn  { A }
42, 1fnsn 5054 . . 3  |-  { <. B ,  A >. }  Fn  { B }
51, 2cnvsn 4900 . . . 4  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }
65fneq1i 5094 . . 3  |-  ( `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B } 
<->  { <. B ,  A >. }  Fn  { B } )
74, 6mpbir 144 . 2  |-  `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B }
8 dff1o4 5245 . 2  |-  ( {
<. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }  <->  ( { <. A ,  B >. }  Fn  { A }  /\  `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B } ) )
93, 7, 8mpbir2an 888 1  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3441   <.cop 3444   `'ccnv 4427    Fn wfn 4997   -1-1-onto->wf1o 5001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009
This theorem is referenced by:  f1osng  5278  fsn  5453  mapsn  6427  ensn1  6493  phplem2  6549  ac6sfi  6594  fxnn0nninf  9809
  Copyright terms: Public domain W3C validator