Theorem f1oeq1 5510

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 5476	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )
2		foeq1 5494	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -onto-> B <-> G : A -onto-> B ) )
3	1, 2	anbi12d 473	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) ) )
4		df-f1o 5278	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) )
5		df-f1o 5278	. 2 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278

This theorem is referenced by:  f1oeq123d  5516  f1oeq1d  5517  f1ocnvb  5536  f1orescnv  5538  f1ovi  5561  f1osng  5563  f1oresrab  5745  fsn  5752  isoeq1  5870  mapsn  6777  mapsnf1o3  6784  f1oen4g  6843  f1oen3g  6845  ensn1  6888  en2prd  6909  xpcomf1o  6920  xpen  6942  seq3f1olemstep  10659  seq3f1olemp  10660  seqf1oglem2  10665  seqf1og  10666  fihasheqf1oi  10932  fihashf1rn  10933  hashfacen  10981  summodc  11694  fsum3  11698  prodmodc  11889  fprodseq  11894  eulerthlemh  12553  relogf1o  15333  2lgslem1  15568