Theorem f1oeq1 5512

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 5478	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )
2		foeq1 5496	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -onto-> B <-> G : A -onto-> B ) )
3	1, 2	anbi12d 473	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) ) )
4		df-f1o 5279	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) )
5		df-f1o 5279	. 2 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   -1-1->wf1 5269   -onto->wfo 5270   -1-1-onto->wf1o 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279

This theorem is referenced by:  f1oeq123d  5518  f1oeq1d  5519  f1ocnvb  5538  f1orescnv  5540  f1ovi  5563  f1osng  5565  f1oresrab  5747  fsn  5754  isoeq1  5872  mapsn  6779  mapsnf1o3  6786  f1oen4g  6845  f1oen3g  6847  ensn1  6890  en2prd  6911  xpcomf1o  6922  xpen  6944  seq3f1olemstep  10661  seq3f1olemp  10662  seqf1oglem2  10667  seqf1og  10668  fihasheqf1oi  10934  fihashf1rn  10935  hashfacen  10983  summodc  11727  fsum3  11731  prodmodc  11922  fprodseq  11927  eulerthlemh  12586  relogf1o  15366  2lgslem1  15601