Theorem f1oeq1 5451

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 5418	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )
2		foeq1 5436	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -onto-> B <-> G : A -onto-> B ) )
3	1, 2	anbi12d 473	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) ) )
4		df-f1o 5225	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) )
5		df-f1o 5225	. 2 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   -1-1->wf1 5215   -onto->wfo 5216   -1-1-onto->wf1o 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225

This theorem is referenced by:  f1oeq123d  5457  f1oeq1d  5458  f1ocnvb  5477  f1orescnv  5479  f1ovi  5502  f1osng  5504  f1oresrab  5684  fsn  5691  isoeq1  5805  mapsn  6693  mapsnf1o3  6700  f1oen3g  6757  ensn1  6799  xpcomf1o  6828  xpen  6848  seq3f1olemstep  10504  seq3f1olemp  10505  fihasheqf1oi  10770  fihashf1rn  10771  hashfacen  10819  summodc  11394  fsum3  11398  prodmodc  11589  fprodseq  11594  eulerthlemh  12234  relogf1o  14470