Theorem f1oeq1 5244

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 5211	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )
2		foeq1 5229	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A -onto-> B <-> G : A -onto-> B ) )
3	1, 2	anbi12d 457	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) ) )
4		df-f1o 5022	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -1-1-> B /\ F : A -onto-> B ) )
5		df-f1o 5022	. 2 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 221	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> G : A -1-1-onto-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   -1-1->wf1 5012   -onto->wfo 5013   -1-1-onto->wf1o 5014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022

This theorem is referenced by:  f1oeq123d  5250  f1ocnvb  5267  f1orescnv  5269  f1ovi  5292  f1osng  5294  f1oresrab  5463  fsn  5469  isoeq1  5580  mapsn  6445  mapsnf1o3  6452  f1oen3g  6469  ensn1  6511  xpcomf1o  6539  xpen  6559  seq3f1olemstep  9926  seq3f1olemp  9927  fihasheqf1oi  10192  fihashf1rn  10193  hashfacen  10237  isummo  10769  fisum  10774