Theorem f1ovi 5657

Description: The identity relation is a one-to-one onto function on the universe. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovi	⊢ I :V–1-1-onto→V

Proof of Theorem f1ovi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5656	. 2 ⊢ ( I ↾ V):V–1-1-onto→V
2		reli 4886	. . . 4 ⊢ Rel I
3		dfrel3 5222	. . . 4 ⊢ (Rel I ↔ ( I ↾ V) = I )
4	2, 3	mpbi 145	. . 3 ⊢ ( I ↾ V) = I
5		f1oeq1 5604	. . 3 ⊢ (( I ↾ V) = I → (( I ↾ V):V–1-1-onto→V ↔ I :V–1-1-onto→V))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ V):V–1-1-onto→V ↔ I :V–1-1-onto→V)
7	1, 6	mpbi 145	1 ⊢ I :V–1-1-onto→V

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398  Vcvv 2815   I cid 4411   ↾ cres 4753  Rel wrel 4756  –1-1-onto→wf1o 5353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361

This theorem is referenced by:  residfi  7209