Theorem f1ovi 5563

Description: The identity relation is a one-to-one onto function on the universe. (Contributed by NM, 16-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ovi	⊢ I :V–1-1-onto→V

Proof of Theorem f1ovi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5562	. 2 ⊢ ( I ↾ V):V–1-1-onto→V
2		reli 4808	. . . 4 ⊢ Rel I
3		dfrel3 5141	. . . 4 ⊢ (Rel I ↔ ( I ↾ V) = I )
4	2, 3	mpbi 145	. . 3 ⊢ ( I ↾ V) = I
5		f1oeq1 5512	. . 3 ⊢ (( I ↾ V) = I → (( I ↾ V):V–1-1-onto→V ↔ I :V–1-1-onto→V))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ V):V–1-1-onto→V ↔ I :V–1-1-onto→V)
7	1, 6	mpbi 145	1 ⊢ I :V–1-1-onto→V

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1373  Vcvv 2772   I cid 4336   ↾ cres 4678  Rel wrel 4681  –1-1-onto→wf1o 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279

This theorem is referenced by:  residfi  7044