Theorem fnopab 5311

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 5-Mar-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnopab.1	|- ( x e. A -> E! y ph )
fnopab.2	|- F = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
fnopab	|- F Fn A

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnopab.1	. . 3 |- ( x e. A -> E! y ph )
2	1	rgen 2518	. 2 |- A. x e. A E! y ph
3		fnopab.2	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
4	3	fnopabg 5310	. 2 |- ( A. x e. A E! y ph <-> F Fn A )
5	2, 4	mpbi 144	1 |- F Fn A

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   E!weu 2014   e. wcel 2136   A.wral 2443   {copab 4041   Fn wfn 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-fun 5189  df-fn 5190

This theorem is referenced by:  fvopab3g  5558