Theorem ftp 5847

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftp.a	|- A e. _V
ftp.b	|- B e. _V
ftp.c	|- C e. _V
ftp.d	|- X e. _V
ftp.e	|- Y e. _V
ftp.f	|- Z e. _V
ftp.g	|- A =/= B
ftp.h	|- A =/= C
ftp.i	|- B =/= C

Assertion

Ref	Expression
ftp	|- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } : { A , B , C } --> { X , Y , Z }

Proof of Theorem ftp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftp.a	. . 3 |- A e. _V
2		ftp.b	. . 3 |- B e. _V
3		ftp.c	. . 3 |- C e. _V
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1202	. 2 |- ( A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V )
5		ftp.d	. . 3 |- X e. _V
6		ftp.e	. . 3 |- Y e. _V
7		ftp.f	. . 3 |- Z e. _V
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1202	. 2 |- ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V )
9		ftp.g	. . 3 |- A =/= B
10		ftp.h	. . 3 |- A =/= C
11		ftp.i	. . 3 |- B =/= C
12	9, 10, 11	3pm3.2i 1202	. 2 |- ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C )
13		ftpg 5846	. 2 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V ) /\ ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } : { A , B , C } --> { X , Y , Z } )
14	4, 8, 12, 13	mp3an 1374	1 |- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } : { A , B , C } --> { X , Y , Z }

Syntax hints:   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   =/= wne 2403   _Vcvv 2803   {ctp 3675   <.cop 3676   -->wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340

This theorem is referenced by: (None)