Theorem ftp 5869

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftp.a	|- A e. _V
ftp.b	|- B e. _V
ftp.c	|- C e. _V
ftp.d	|- X e. _V
ftp.e	|- Y e. _V
ftp.f	|- Z e. _V
ftp.g	|- A =/= B
ftp.h	|- A =/= C
ftp.i	|- B =/= C

Assertion

Ref	Expression
ftp	|- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } : { A , B , C } --> { X , Y , Z }

Proof of Theorem ftp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftp.a	. . 3 |- A e. _V
2		ftp.b	. . 3 |- B e. _V
3		ftp.c	. . 3 |- C e. _V
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1202	. 2 |- ( A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V )
5		ftp.d	. . 3 |- X e. _V
6		ftp.e	. . 3 |- Y e. _V
7		ftp.f	. . 3 |- Z e. _V
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1202	. 2 |- ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V )
9		ftp.g	. . 3 |- A =/= B
10		ftp.h	. . 3 |- A =/= C
11		ftp.i	. . 3 |- B =/= C
12	9, 10, 11	3pm3.2i 1202	. 2 |- ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C )
13		ftpg 5868	. 2 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V ) /\ ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } : { A , B , C } --> { X , Y , Z } )
14	4, 8, 12, 13	mp3an 1374	1 |- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } : { A , B , C } --> { X , Y , Z }

Syntax hints:   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   =/= wne 2412   _Vcvv 2813   {ctp 3691   <.cop 3692   -->wf 5348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359

This theorem is referenced by: (None)