Theorem ftp 5669

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftp.a	|- A e. _V
ftp.b	|- B e. _V
ftp.c	|- C e. _V
ftp.d	|- X e. _V
ftp.e	|- Y e. _V
ftp.f	|- Z e. _V
ftp.g	|- A =/= B
ftp.h	|- A =/= C
ftp.i	|- B =/= C

Assertion

Ref	Expression
ftp	|- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } : { A , B , C } --> { X , Y , Z }

Proof of Theorem ftp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftp.a	. . 3 |- A e. _V
2		ftp.b	. . 3 |- B e. _V
3		ftp.c	. . 3 |- C e. _V
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1165	. 2 |- ( A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V )
5		ftp.d	. . 3 |- X e. _V
6		ftp.e	. . 3 |- Y e. _V
7		ftp.f	. . 3 |- Z e. _V
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1165	. 2 |- ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V )
9		ftp.g	. . 3 |- A =/= B
10		ftp.h	. . 3 |- A =/= C
11		ftp.i	. . 3 |- B =/= C
12	9, 10, 11	3pm3.2i 1165	. 2 |- ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C )
13		ftpg 5668	. 2 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ C e. _V ) /\ ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } : { A , B , C } --> { X , Y , Z } )
14	4, 8, 12, 13	mp3an 1327	1 |- { <. A , X >. , <. B , Y >. , <. C , Z >. } : { A , B , C } --> { X , Y , Z }

Syntax hints:   /\ w3a 968   e. wcel 2136   =/= wne 2335   _Vcvv 2725   {ctp 3577   <.cop 3578   -->wf 5183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-tp 3583  df-op 3584  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194

This theorem is referenced by: (None)