Theorem ftp 5797

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 23-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftp.a	⊢ 𝐴 ∈ V
ftp.b	⊢ 𝐵 ∈ V
ftp.c	⊢ 𝐶 ∈ V
ftp.d	⊢ 𝑋 ∈ V
ftp.e	⊢ 𝑌 ∈ V
ftp.f	⊢ 𝑍 ∈ V
ftp.g	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
ftp.h	⊢ 𝐴 ≠ 𝐶
ftp.i	⊢ 𝐵 ≠ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
ftp	⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}

Proof of Theorem ftp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ftp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ftp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1180	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)
5		ftp.d	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
6		ftp.e	. . 3 ⊢ 𝑌 ∈ V
7		ftp.f	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1180	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V)
9		ftp.g	. . 3 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
10		ftp.h	. . 3 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐶
11		ftp.i	. . 3 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐶
12	9, 10, 11	3pm3.2i 1180	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)
13		ftpg 5796	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
14	4, 8, 12, 13	mp3an 1352	1 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}

Syntax hints:   ∧ w3a 983   ∈ wcel 2180   ≠ wne 2380  Vcvv 2779  {ctp 3648  ⟨cop 3649  ⟶wf 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-v 2781  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301

This theorem is referenced by: (None)