ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ftpg Unicode version

Theorem ftpg 5680
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ftpg  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C } )

Proof of Theorem ftpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 989 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
) )
2 3simpa 989 . . . 4  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  ( A  e.  F  /\  B  e.  G
) )
3 simp1 992 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  =/=  Y )
4 fprg 5679 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  /\  X  =/=  Y )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. } : { X ,  Y } --> { A ,  B }
)
51, 2, 3, 4syl3an 1275 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. } : { X ,  Y } --> { A ,  B } )
6 eqidd 2171 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. Z ,  C >. }  =  { <. Z ,  C >. } )
7 simp3 994 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  Z  e.  W )
8 simp3 994 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  C  e.  H )
97, 8anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H ) )  -> 
( Z  e.  W  /\  C  e.  H
) )
1093adant3 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( Z  e.  W  /\  C  e.  H
) )
11 fsng 5669 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  W  /\  C  e.  H )  ->  ( { <. Z ,  C >. } : { Z } --> { C }  <->  {
<. Z ,  C >. }  =  { <. Z ,  C >. } ) )
1210, 11syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( { <. Z ,  C >. } : { Z } --> { C }  <->  {
<. Z ,  C >. }  =  { <. Z ,  C >. } ) )
136, 12mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. Z ,  C >. } : { Z }
--> { C } )
14 df-ne 2341 . . . . . . 7  |-  ( X  =/=  Z  <->  -.  X  =  Z )
15 df-ne 2341 . . . . . . 7  |-  ( Y  =/=  Z  <->  -.  Y  =  Z )
16 elpri 3606 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  { X ,  Y }  ->  ( Z  =  X  \/  Z  =  Y ) )
17 eqcom 2172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  X  <->  X  =  Z )
18 eqcom 2172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  Y  <->  Y  =  Z )
1917, 18orbi12i 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  =  X  \/  Z  =  Y )  <->  ( X  =  Z  \/  Y  =  Z )
)
2016, 19sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  { X ,  Y }  ->  ( X  =  Z  \/  Y  =  Z ) )
21 oranim 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Z  \/  Y  =  Z )  ->  -.  ( -.  X  =  Z  /\  -.  Y  =  Z ) )
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  { X ,  Y }  ->  -.  ( -.  X  =  Z  /\  -.  Y  =  Z ) )
2322con2i 622 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  X  =  Z  /\  -.  Y  =  Z )  ->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
2414, 15, 23syl2anb 289 . . . . . 6  |-  ( ( X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
25243adant1 1010 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
26253ad2ant3 1015 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
27 disjsn 3645 . . . 4  |-  ( ( { X ,  Y }  i^i  { Z }
)  =  (/)  <->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
2826, 27sylibr 133 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( { X ,  Y }  i^i  { Z } )  =  (/) )
29 fun 5370 . . 3  |-  ( ( ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. } : { X ,  Y } --> { A ,  B }  /\  { <. Z ,  C >. } : { Z }
--> { C } )  /\  ( { X ,  Y }  i^i  { Z } )  =  (/) )  ->  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) : ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
305, 13, 28, 29syl21anc 1232 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } ) : ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
31 df-tp 3591 . . . 4  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
3231feq1i 5340 . . 3  |-  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. } : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C }  <->  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C } )
33 df-tp 3591 . . . 4  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
34 df-tp 3591 . . . 4  |-  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } )
3533, 34feq23i 5342 . . 3  |-  ( ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } ) : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C }  <->  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) : ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
3632, 35bitri 183 . 2  |-  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. } : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C }  <->  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) : ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
3730, 36sylibr 133 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141    =/= wne 2340    u. cun 3119    i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584   {ctp 3585   <.cop 3586   -->wf 5194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205
This theorem is referenced by:  ftp  5681
  Copyright terms: Public domain W3C validator