Theorem ftpg 5481

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ftpg	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )

Proof of Theorem ftpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 940	. . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
2		3simpa 940	. . . 4 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
3		simp1 943	. . . 4 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> X =/= Y )
4		fprg 5480	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( A e. F /\ B e. G ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1216	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } )
6		eqidd 2089	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } )
7		simp3 945	. . . . . . 7 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> Z e. W )
8		simp3 945	. . . . . . 7 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> C e. H )
9	7, 8	anim12i 331	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) ) -> ( Z e. W /\ C e. H ) )
10	9	3adant3 963	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( Z e. W /\ C e. H ) )
11		fsng 5470	. . . . 5 |- ( ( Z e. W /\ C e. H ) -> ( { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } <-> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } ) )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } <-> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } ) )
13	6, 12	mpbird 165	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } )
14		df-ne 2256	. . . . . . 7 |- ( X =/= Z <-> -. X = Z )
15		df-ne 2256	. . . . . . 7 |- ( Y =/= Z <-> -. Y = Z )
16		elpri 3469	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. { X , Y } -> ( Z = X \/ Z = Y ) )
17		eqcom 2090	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = X <-> X = Z )
18		eqcom 2090	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = Y <-> Y = Z )
19	17, 18	orbi12i 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) <-> ( X = Z \/ Y = Z ) )
20	16, 19	sylib 120	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. { X , Y } -> ( X = Z \/ Y = Z ) )
21		oranim 845	. . . . . . . . 9 |- ( ( X = Z \/ Y = Z ) -> -. ( -. X = Z /\ -. Y = Z ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( Z e. { X , Y } -> -. ( -. X = Z /\ -. Y = Z ) )
23	22	con2i 592	. . . . . . 7 |- ( ( -. X = Z /\ -. Y = Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
24	14, 15, 23	syl2anb 285	. . . . . 6 |- ( ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
25	24	3adant1 961	. . . . 5 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
26	25	3ad2ant3 966	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> -. Z e. { X , Y } )
27		disjsn 3504	. . . 4 |- ( ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. { X , Y } )
28	26, 27	sylibr 132	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
29		fun 5183	. . 3 |- ( ( ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } /\ { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } ) /\ ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) ) -> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
30	5, 13, 28, 29	syl21anc 1173	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
31		df-tp 3454	. . . 4 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
32	31	feq1i 5154	. . 3 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )
33		df-tp 3454	. . . 4 |- { X , Y , Z } = ( { X , Y } u. { Z } )
34		df-tp 3454	. . . 4 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
35	33, 34	feq23i 5156	. . 3 |- ( ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
36	32, 35	bitri 182	. 2 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
37	30, 36	sylibr 132	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   u. cun 2997   i^i cin 2998   (/)c0 3286   {csn 3446   {cpr 3447   {ctp 3448   <.cop 3449   -->wf 5011

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-tp 3454  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022

This theorem is referenced by:  ftp  5482