Theorem funimass5 5696

Description: A subclass of a preimage in terms of function values. (Contributed by NM, 15-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funimass5	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A C_ ( `' F " B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, B

Proof of Theorem funimass5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funimass3 5695	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A C_ ( `' F " B ) ) )
2		funimass4 5628	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
3	1, 2	bitr3d 190	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A C_ ( `' F " B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2175   A.wral 2483   C_ wss 3165   `'ccnv 4673   dom cdm 4674   "cima 4677   Fun wfun 5264   ` cfv 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278

This theorem is referenced by: (None)