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Theorem funimass4 5478
Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 3089 . 2  |-  ( ( F " A ) 
C_  B  <->  A. y
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
) )
2 eqcom 2142 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  y )
3 ssel 3094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  dom  F  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  dom  F ) )
4 funbrfvb 5470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  x )  =  y  <-> 
x F y ) )
54ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( x  e.  dom  F  ->  (
( F `  x
)  =  y  <->  x F
y ) ) )
63, 5syl9 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  dom  F  ->  ( Fun  F  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( F `  x )  =  y  <-> 
x F y ) ) ) )
76imp31 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  y  <->  x F y ) )
82, 7syl5bb 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  =  ( F `  x )  <->  x F
y ) )
98rexbidva 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  E. x  e.  A  x F
y ) )
10 vex 2692 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1110elima 4892 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( F " A )  <->  E. x  e.  A  x F
y )
129, 11syl6rbbr 198 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( F
" A )  <->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
1312imbi1d 230 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
)  <->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
14 r19.23v 2544 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
y  =  ( F `
 x )  -> 
y  e.  B )  <-> 
( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) )
1513, 14syl6bbr 197 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
)  <->  A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
1615albidv 1797 . . . 4  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( A. y ( y  e.  ( F " A
)  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
1716ancoms 266 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. y ( y  e.  ( F
" A )  -> 
y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B ) ) )
18 ralcom4 2711 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) )
19 ssel2 3095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F
)
2019anim2i 340 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ( A  C_  dom  F  /\  x  e.  A )
)  ->  ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F ) )
21203impb 1178 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F  /\  x  e.  A )  ->  ( Fun  F  /\  x  e. 
dom  F ) )
22 funfvex 5444 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  _V )
23 nfv 1509 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( F `  x
)  e.  B
24 eleq1 2203 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
y  e.  B  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
2523, 24ceqsalg 2717 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  ->  ( A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
2621, 22, 253syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
27263expa 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
2827ralbidva 2434 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  A. y ( y  =  ( F `
 x )  -> 
y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
2918, 28bitr3id 193 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. y A. x  e.  A  (
y  =  ( F `
 x )  -> 
y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
3017, 29bitrd 187 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. y ( y  e.  ( F
" A )  -> 
y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
311, 30syl5bb 191 1  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963   A.wal 1330    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689    C_ wss 3074   class class class wbr 3935   dom cdm 4545   "cima 4548   Fun wfun 5123   ` cfv 5129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-fv 5137
This theorem is referenced by:  funimass3  5542  funimass5  5543  funconstss  5544  funimassov  5926  phimullem  11930  txcnp  12472  metcnp  12713
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