Theorem funimass4 5404

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3036	. 2 |- ( ( F " A ) C_ B <-> A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) )
2		eqcom 2102	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
3		ssel 3041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ dom F -> ( x e. A -> x e. dom F ) )
4		funbrfvb 5396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
5	4	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( x e. dom F -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) )
6	3, 5	syl9 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ dom F -> ( Fun F -> ( x e. A -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) ) )
7	6	imp31 254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
8	2, 7	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) <-> x F y ) )
9	8	rexbidva 2393	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A x F y ) )
10		vex 2644	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
11	10	elima 4822	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A x F y )
12	9, 11	syl6rbbr 198	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
13	12	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
14		r19.23v 2500	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
15	13, 14	syl6bbr 197	. . . . 5 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
16	15	albidv 1763	. . . 4 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
17	16	ancoms 266	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
18		ralcom4 2663	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
19		ssel2 3042	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ dom F /\ x e. A ) -> x e. dom F )
20	19	anim2i 337	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( A C_ dom F /\ x e. A ) ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
21	20	3impb 1145	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
22		funfvex 5370	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
23		nfv 1476	. . . . . . . 8 |- F/ y ( F ` x ) e. B
24		eleq1 2162	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. B <-> ( F ` x ) e. B ) )
25	23, 24	ceqsalg 2669	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
26	21, 22, 25	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
27	26	3expa 1149	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
28	27	ralbidva 2392	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
29	18, 28	syl5bbr 193	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
30	17, 29	bitrd 187	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
31	1, 30	syl5bb 191	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 930   A.wal 1297   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641   C_ wss 3021   class class class wbr 3875   dom cdm 4477   "cima 4480   Fun wfun 5053   ` cfv 5059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-fv 5067

This theorem is referenced by:  funimass3  5468  funimass5  5469  funconstss  5470  funimassov  5852  phimullem  11693  txcnp  12221  metcnp  12436