Theorem funimass4 5683

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3212	. 2 |- ( ( F " A ) C_ B <-> A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) )
2		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3	2	elima 5072	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A x F y )
4		eqcom 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
5		ssel 3218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ dom F -> ( x e. A -> x e. dom F ) )
6		funbrfvb 5673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
7	6	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( x e. dom F -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) )
8	5, 7	syl9 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ dom F -> ( Fun F -> ( x e. A -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) ) )
9	8	imp31 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) <-> x F y ) )
11	10	rexbidva 2527	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A x F y ) )
12	3, 11	bitr4id 199	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
14		r19.23v 2640	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
15	13, 14	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
16	15	albidv 1870	. . . 4 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
17	16	ancoms 268	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
18		ralcom4 2822	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
19		ssel2 3219	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ dom F /\ x e. A ) -> x e. dom F )
20	19	anim2i 342	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( A C_ dom F /\ x e. A ) ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
21	20	3impb 1223	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
22		funfvex 5643	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
23		nfv 1574	. . . . . . . 8 |- F/ y ( F ` x ) e. B
24		eleq1 2292	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. B <-> ( F ` x ) e. B ) )
25	23, 24	ceqsalg 2828	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
26	21, 22, 25	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
27	26	3expa 1227	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
28	27	ralbidva 2526	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
29	18, 28	bitr3id 194	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
30	17, 29	bitrd 188	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
31	1, 30	bitrid 192	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   class class class wbr 4082   dom cdm 4718   "cima 4721   Fun wfun 5311   ` cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325

This theorem is referenced by:  funimass3  5750  funimass5  5751  funconstss  5752  funimassov  6154  phimullem  12742  txcnp  14939  metcnp  15180  plycoeid3  15425