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Theorem funimass4 5404
Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 3036 . 2  |-  ( ( F " A ) 
C_  B  <->  A. y
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
) )
2 eqcom 2102 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  y )
3 ssel 3041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  dom  F  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  dom  F ) )
4 funbrfvb 5396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  x )  =  y  <-> 
x F y ) )
54ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( x  e.  dom  F  ->  (
( F `  x
)  =  y  <->  x F
y ) ) )
63, 5syl9 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  dom  F  ->  ( Fun  F  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( F `  x )  =  y  <-> 
x F y ) ) ) )
76imp31 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  y  <->  x F y ) )
82, 7syl5bb 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  =  ( F `  x )  <->  x F
y ) )
98rexbidva 2393 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  E. x  e.  A  x F
y ) )
10 vex 2644 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1110elima 4822 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( F " A )  <->  E. x  e.  A  x F
y )
129, 11syl6rbbr 198 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( F
" A )  <->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
1312imbi1d 230 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
)  <->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
14 r19.23v 2500 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
y  =  ( F `
 x )  -> 
y  e.  B )  <-> 
( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) )
1513, 14syl6bbr 197 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
)  <->  A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
1615albidv 1763 . . . 4  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( A. y ( y  e.  ( F " A
)  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
1716ancoms 266 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. y ( y  e.  ( F
" A )  -> 
y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B ) ) )
18 ralcom4 2663 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) )
19 ssel2 3042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F
)
2019anim2i 337 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ( A  C_  dom  F  /\  x  e.  A )
)  ->  ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F ) )
21203impb 1145 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F  /\  x  e.  A )  ->  ( Fun  F  /\  x  e. 
dom  F ) )
22 funfvex 5370 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  _V )
23 nfv 1476 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( F `  x
)  e.  B
24 eleq1 2162 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
y  e.  B  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
2523, 24ceqsalg 2669 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  ->  ( A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
2621, 22, 253syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
27263expa 1149 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
2827ralbidva 2392 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  A  A. y ( y  =  ( F `
 x )  -> 
y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
2918, 28syl5bbr 193 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. y A. x  e.  A  (
y  =  ( F `
 x )  -> 
y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
3017, 29bitrd 187 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( A. y ( y  e.  ( F
" A )  -> 
y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
311, 30syl5bb 191 1  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930   A.wal 1297    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641    C_ wss 3021   class class class wbr 3875   dom cdm 4477   "cima 4480   Fun wfun 5053   ` cfv 5059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-fv 5067
This theorem is referenced by:  funimass3  5468  funimass5  5469  funconstss  5470  funimassov  5852  phimullem  11693  txcnp  12221  metcnp  12436
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