Theorem funimass4 5705

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3216	. 2 |- ( ( F " A ) C_ B <-> A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) )
2		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3	2	elima 5087	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A x F y )
4		eqcom 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
5		ssel 3222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ dom F -> ( x e. A -> x e. dom F ) )
6		funbrfvb 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
7	6	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( x e. dom F -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) )
8	5, 7	syl9 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ dom F -> ( Fun F -> ( x e. A -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) ) )
9	8	imp31 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) <-> x F y ) )
11	10	rexbidva 2530	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A x F y ) )
12	3, 11	bitr4id 199	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
14		r19.23v 2643	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
15	13, 14	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
16	15	albidv 1872	. . . 4 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
17	16	ancoms 268	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
18		ralcom4 2826	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
19		ssel2 3223	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ dom F /\ x e. A ) -> x e. dom F )
20	19	anim2i 342	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( A C_ dom F /\ x e. A ) ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
21	20	3impb 1226	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
22		funfvex 5665	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
23		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ y ( F ` x ) e. B
24		eleq1 2294	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. B <-> ( F ` x ) e. B ) )
25	23, 24	ceqsalg 2832	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
26	21, 22, 25	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
27	26	3expa 1230	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
28	27	ralbidva 2529	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
29	18, 28	bitr3id 194	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
30	17, 29	bitrd 188	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
31	1, 30	bitrid 192	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   "cima 4734   Fun wfun 5327   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  funimass3  5772  funimass5  5773  funconstss  5774  funimassov  6182  phimullem  12860  txcnp  15065  metcnp  15306  plycoeid3  15551