Theorem funimass4 5537

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3131	. 2 |- ( ( F " A ) C_ B <-> A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) )
2		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3	2	elima 4951	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A x F y )
4		eqcom 2167	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
5		ssel 3136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ dom F -> ( x e. A -> x e. dom F ) )
6		funbrfvb 5529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
7	6	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( x e. dom F -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) )
8	5, 7	syl9 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ dom F -> ( Fun F -> ( x e. A -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) ) )
9	8	imp31 254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
10	4, 9	syl5bb 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) <-> x F y ) )
11	10	rexbidva 2463	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A x F y ) )
12	3, 11	bitr4id 198	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
13	12	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
14		r19.23v 2575	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
15	13, 14	bitr4di 197	. . . . 5 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
16	15	albidv 1812	. . . 4 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
17	16	ancoms 266	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
18		ralcom4 2748	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
19		ssel2 3137	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ dom F /\ x e. A ) -> x e. dom F )
20	19	anim2i 340	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( A C_ dom F /\ x e. A ) ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
21	20	3impb 1189	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
22		funfvex 5503	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
23		nfv 1516	. . . . . . . 8 |- F/ y ( F ` x ) e. B
24		eleq1 2229	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. B <-> ( F ` x ) e. B ) )
25	23, 24	ceqsalg 2754	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
26	21, 22, 25	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
27	26	3expa 1193	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
28	27	ralbidva 2462	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
29	18, 28	bitr3id 193	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
30	17, 29	bitrd 187	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
31	1, 30	syl5bb 191	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   "cima 4607   Fun wfun 5182   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  funimass3  5601  funimass5  5602  funconstss  5603  funimassov  5991  phimullem  12157  txcnp  12911  metcnp  13152