Theorem funimass4 5628

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3180	. 2 |- ( ( F " A ) C_ B <-> A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) )
2		vex 2774	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3	2	elima 5026	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A x F y )
4		eqcom 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
5		ssel 3186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ dom F -> ( x e. A -> x e. dom F ) )
6		funbrfvb 5620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
7	6	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( x e. dom F -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) )
8	5, 7	syl9 72	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ dom F -> ( Fun F -> ( x e. A -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) ) ) )
9	8	imp31 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
10	4, 9	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) <-> x F y ) )
11	10	rexbidva 2502	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A x F y ) )
12	3, 11	bitr4id 199	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( y e. ( F " A ) <-> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
14		r19.23v 2614	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
15	13, 14	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
16	15	albidv 1846	. . . 4 |- ( ( A C_ dom F /\ Fun F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
17	16	ancoms 268	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
18		ralcom4 2793	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
19		ssel2 3187	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ dom F /\ x e. A ) -> x e. dom F )
20	19	anim2i 342	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( A C_ dom F /\ x e. A ) ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
21	20	3impb 1201	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
22		funfvex 5592	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
23		nfv 1550	. . . . . . . 8 |- F/ y ( F ` x ) e. B
24		eleq1 2267	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( y e. B <-> ( F ` x ) e. B ) )
25	23, 24	ceqsalg 2799	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
26	21, 22, 25	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
27	26	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) /\ x e. A ) -> ( A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> ( F ` x ) e. B ) )
28	27	ralbidva 2501	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. x e. A A. y ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
29	18, 28	bitr3id 194	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y A. x e. A ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
30	17, 29	bitrd 188	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. y ( y e. ( F " A ) -> y e. B ) <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )
31	1, 30	bitrid 192	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ B <-> A. x e. A ( F ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1370   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   _Vcvv 2771   C_ wss 3165   class class class wbr 4043   dom cdm 4674   "cima 4677   Fun wfun 5264   ` cfv 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278

This theorem is referenced by:  funimass3  5695  funimass5  5696  funconstss  5697  funimassov  6095  phimullem  12489  txcnp  14685  metcnp  14926  plycoeid3  15171