Theorem funconstss 5546

Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funconstss	|- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. x e. A ( F ` x ) = B <-> A C_ ( `' F " { B } ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, B

Proof of Theorem funconstss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funimass4 5480	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ { B } <-> A. x e. A ( F ` x ) e. { B } ) )
2		funimass3 5544	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( ( F " A ) C_ { B } <-> A C_ ( `' F " { B } ) ) )
3		ssel2 3097	. . . . . 6 |- ( ( A C_ dom F /\ x e. A ) -> x e. dom F )
4	3	anim2i 340	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ ( A C_ dom F /\ x e. A ) ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
5	4	anassrs 398	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) /\ x e. A ) -> ( Fun F /\ x e. dom F ) )
6		funfvex 5446	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
7		elsng 3547	. . . 4 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` x ) e. { B } <-> ( F ` x ) = B ) )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) e. { B } <-> ( F ` x ) = B ) )
9	8	ralbidva 2434	. 2 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. x e. A ( F ` x ) e. { B } <-> A. x e. A ( F ` x ) = B ) )
10	1, 2, 9	3bitr3rd 218	1 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( A. x e. A ( F ` x ) = B <-> A C_ ( `' F " { B } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   {csn 3532   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   "cima 4550   Fun wfun 5125   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  fconst3m  5647