Theorem funopab4 5235

Description: A class of ordered pairs of values in the form used by df-mpt 4052 is a function. (Contributed by NM, 17-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funopab4	|- Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) }

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem funopab4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . 3 |- ( ( ph /\ y = A ) -> y = A )
2	1	ssopab2i 4262	. 2 |- { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } C_ { <. x , y >. | y = A }
3		funopabeq 5234	. 2 |- Fun { <. x , y >. | y = A }
4		funss 5217	. 2 |- ( { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } C_ { <. x , y >. | y = A } -> ( Fun { <. x , y >. | y = A } -> Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	1 |- Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   C_ wss 3121   {copab 4049   Fun wfun 5192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-fun 5200

This theorem is referenced by:  funmpt  5236