Theorem funopab4 5224

Description: A class of ordered pairs of values in the form used by df-mpt 4044 is a function. (Contributed by NM, 17-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funopab4	|- Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) }

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem funopab4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . 3 |- ( ( ph /\ y = A ) -> y = A )
2	1	ssopab2i 4254	. 2 |- { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } C_ { <. x , y >. | y = A }
3		funopabeq 5223	. 2 |- Fun { <. x , y >. | y = A }
4		funss 5206	. 2 |- ( { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } C_ { <. x , y >. | y = A } -> ( Fun { <. x , y >. | y = A } -> Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	1 |- Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   C_ wss 3115   {copab 4041   Fun wfun 5181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-fun 5189

This theorem is referenced by:  funmpt  5225