Theorem funopab4 5291

Description: A class of ordered pairs of values in the form used by df-mpt 4092 is a function. (Contributed by NM, 17-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funopab4	|- Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) }

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem funopab4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ y = A ) -> y = A )
2	1	ssopab2i 4308	. 2 |- { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } C_ { <. x , y >. | y = A }
3		funopabeq 5290	. 2 |- Fun { <. x , y >. | y = A }
4		funss 5273	. 2 |- ( { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } C_ { <. x , y >. | y = A } -> ( Fun { <. x , y >. | y = A } -> Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	1 |- Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   C_ wss 3153   {copab 4089   Fun wfun 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-fun 5256

This theorem is referenced by:  funmpt  5292