Theorem funopab4 5355

Description: A class of ordered pairs of values in the form used by df-mpt 4147 is a function. (Contributed by NM, 17-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funopab4	|- Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) }

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem funopab4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ y = A ) -> y = A )
2	1	ssopab2i 4366	. 2 |- { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } C_ { <. x , y >. | y = A }
3		funopabeq 5354	. 2 |- Fun { <. x , y >. | y = A }
4		funss 5337	. 2 |- ( { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } C_ { <. x , y >. | y = A } -> ( Fun { <. x , y >. | y = A } -> Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) } ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	1 |- Fun { <. x , y >. | ( ph /\ y = A ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   C_ wss 3197   {copab 4144   Fun wfun 5312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-fun 5320

This theorem is referenced by:  funmpt  5356