Theorem funmpt 5371

Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funmpt	|- Fun ( x e. A |-> B )

Proof of Theorem funmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab4 5370	. 2 |- Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
2		df-mpt 4157	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
3	2	funeqi 5354	. 2 |- ( Fun ( x e. A |-> B ) <-> Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Fun ( x e. A |-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   {copab 4154   |-> cmpt 4155   Fun wfun 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-fun 5335

This theorem is referenced by:  funmpt2  5372  fmptco  5821  resfunexg  5883  mptexg  5889  mptexw  6284  brtpos2  6460  tposfun  6469  rdgtfr  6583  rdgruledefgg  6584  rdgon  6595  freccllem  6611  frecfcllem  6613  hashinfom  11086  hashennn  11088  ccatalpha  11239  negfi  11851  tgrest  14963  dvrecap  15507  funmptd  16504