Theorem funmpt 5418

Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funmpt	|- Fun ( x e. A |-> B )

Proof of Theorem funmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab4 5417	. 2 |- Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
2		df-mpt 4195	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
3	2	funeqi 5401	. 2 |- ( Fun ( x e. A |-> B ) <-> Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Fun ( x e. A |-> B )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {copab 4192   |-> cmpt 4193   Fun wfun 5374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-fun 5382

This theorem is used by:  funmpt2  5419  fmptco  5877  resfunexg  5939  mptexg  5945  mptexw  6346  brtpos2  6526  tposfun  6535  rdgtfr  6649  rdgruledefgg  6650  rdgon  6661  freccllem  6677  frecfcllem  6679  hashinfom  11239  hashennn  11241  ccatalpha  11403  negfi  12017  tgrest  15395  dvrecap  15939  funmptd  17036