Theorem funmpt 5296

Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funmpt	|- Fun ( x e. A |-> B )

Proof of Theorem funmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab4 5295	. 2 |- Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
2		df-mpt 4096	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
3	2	funeqi 5279	. 2 |- ( Fun ( x e. A |-> B ) <-> Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Fun ( x e. A |-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {copab 4093   |-> cmpt 4094   Fun wfun 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-fun 5260

This theorem is referenced by:  funmpt2  5297  fmptco  5728  resfunexg  5783  mptexg  5787  mptexw  6170  brtpos2  6309  tposfun  6318  rdgtfr  6432  rdgruledefgg  6433  rdgon  6444  freccllem  6460  frecfcllem  6462  hashinfom  10870  hashennn  10872  negfi  11393  tgrest  14405  dvrecap  14949  funmptd  15449