Theorem funmpt 5318

Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funmpt	|- Fun ( x e. A |-> B )

Proof of Theorem funmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopab4 5317	. 2 |- Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
2		df-mpt 4115	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
3	2	funeqi 5301	. 2 |- ( Fun ( x e. A |-> B ) <-> Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Fun ( x e. A |-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   {copab 4112   |-> cmpt 4113   Fun wfun 5274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-fun 5282

This theorem is referenced by:  funmpt2  5319  fmptco  5759  resfunexg  5818  mptexg  5822  mptexw  6211  brtpos2  6350  tposfun  6359  rdgtfr  6473  rdgruledefgg  6474  rdgon  6485  freccllem  6501  frecfcllem  6503  hashinfom  10945  hashennn  10947  negfi  11614  tgrest  14716  dvrecap  15260  funmptd  15878