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Theorem genpdflem 7338
Description: Simplification of upper or lower cut expression. Lemma for genpdf 7339. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genpdflem.r  |-  ( (
ph  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  Q. )
genpdflem.s  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
genpdflem  |-  ( ph  ->  { q  e.  Q.  |  E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) }  =  { q  e.  Q.  |  E. r  e.  A  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) } )
Distinct variable groups:    A, s    ph, q,
r, s
Allowed substitution hints:    A( r, q)    B( s, r, q)    G( s, r, q)

Proof of Theorem genpdflem
StepHypRef Expression
1 genpdflem.r . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  Q. )
21ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( r  e.  A  ->  r  e.  Q. )
)
32pm4.71rd 392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( r  e.  A  <->  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )
) )
43anbi1d 461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  ( (
r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) ) )
54exbidv 1798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. r ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  E. r ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) ) )
6 3anass 967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <-> 
( r  e.  A  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
76rexbii 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
8 r19.42v 2591 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) )  <->  ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
97, 8bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <-> 
( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
109rexbii 2445 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
11 df-rex 2423 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  E. r ( r  e.  Q.  /\  (
r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
1210, 11bitri 183 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r ( r  e. 
Q.  /\  ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
13 anass 399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e. 
Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  ( r  e.  Q.  /\  ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
1413exbii 1585 . . . . . 6  |-  ( E. r ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) )  <->  E. r ( r  e.  Q.  /\  (
r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
1512, 14bitr4i 186 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r ( ( r  e.  Q.  /\  r  e.  A )  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
165, 15syl6rbbr 198 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. r  e. 
Q.  E. s  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) )  <->  E. r ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) ) )
17 df-rex 2423 . . . 4  |-  ( E. r  e.  A  E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r ( r  e.  A  /\  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
1816, 17syl6bbr 197 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e. 
Q.  E. s  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) )  <->  E. r  e.  A  E. s  e.  Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
19 genpdflem.s . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  Q. )
2019ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  B  ->  s  e.  Q. )
)
2120pm4.71rd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  B  <->  ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )
) )
2221anbi1d 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  ( (
s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
2322exbidv 1798 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s ( ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
24 df-rex 2423 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s ( s  e. 
Q.  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
25 anass 399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  ( s  e. 
Q.  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) ) )
2625exbii 1585 . . . . . . 7  |-  ( E. s ( ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s
( s  e.  Q.  /\  ( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
2724, 26bitr4i 186 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  Q.  (
s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s ( ( s  e.  Q.  /\  s  e.  B )  /\  q  =  ( r G s ) ) )
2823, 27syl6rbbr 198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s
( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) ) )
29 df-rex 2423 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  B  q  =  ( r G s )  <->  E. s
( s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) ) )
3028, 29syl6bbr 197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) ) )
3130rexbidv 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  A  E. s  e. 
Q.  ( s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) )  <->  E. r  e.  A  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) ) )
3218, 31bitrd 187 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e. 
Q.  E. s  e.  Q.  ( r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  (
r G s ) )  <->  E. r  e.  A  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) ) )
3332rabbidv 2678 1  |-  ( ph  ->  { q  e.  Q.  |  E. r  e.  Q.  E. s  e.  Q.  (
r  e.  A  /\  s  e.  B  /\  q  =  ( r G s ) ) }  =  { q  e.  Q.  |  E. r  e.  A  E. s  e.  B  q  =  ( r G s ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   E.wrex 2418   {crab 2421  (class class class)co 5781   Q.cnq 7111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426
This theorem is referenced by:  genpdf  7339
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