Theorem genpdflem 7574

Description: Simplification of upper or lower cut expression. Lemma for genpdf 7575. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
genpdflem.r	|- ( ( ph /\ r e. A ) -> r e. Q. )
genpdflem.s	|- ( ( ph /\ s e. B ) -> s e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
genpdflem	|- ( ph -> { q e. Q. | E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) } = { q e. Q. | E. r e. A E. s e. B q = ( r G s ) } )

Distinct variable groups:   A, s   ph, q, r, s

Allowed substitution hints:   A( r, q)   B( s, r, q)   G( s, r, q)

Proof of Theorem genpdflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 984	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> ( r e. A /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
2	1	rexbii 2504	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s e. Q. ( r e. A /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
3		r19.42v 2654	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. Q. ( r e. A /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
5	4	rexbii 2504	. . . . . . 7 |- ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r e. Q. ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
6		df-rex 2481	. . . . . . 7 |- ( E. r e. Q. ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> E. r ( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r ( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
8		anass 401	. . . . . . 7 |- ( ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> ( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
9	8	exbii 1619	. . . . . 6 |- ( E. r ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> E. r ( r e. Q. /\ ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
10	7, 9	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
11		genpdflem.r	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. A ) -> r e. Q. )
12	11	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( r e. A -> r e. Q. ) )
13	12	pm4.71rd 394	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( r e. A <-> ( r e. Q. /\ r e. A ) ) )
14	13	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
15	14	exbidv 1839	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. r ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) <-> E. r ( ( r e. Q. /\ r e. A ) /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
16	10, 15	bitr4id 199	. . . 4 |- ( ph -> ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) ) )
17		df-rex 2481	. . . 4 |- ( E. r e. A E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r ( r e. A /\ E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
18	16, 17	bitr4di 198	. . 3 |- ( ph -> ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r e. A E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
19		df-rex 2481	. . . . . . 7 |- ( E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( s e. Q. /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
20		anass 401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) <-> ( s e. Q. /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
21	20	exbii 1619	. . . . . . 7 |- ( E. s ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( s e. Q. /\ ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
22	19, 21	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) )
23		genpdflem.s	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s e. Q. )
24	23	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. B -> s e. Q. ) )
25	24	pm4.71rd 394	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. B <-> ( s e. Q. /\ s e. B ) ) )
26	25	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) ) )
27	26	exbidv 1839	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. s ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( ( s e. Q. /\ s e. B ) /\ q = ( r G s ) ) ) )
28	22, 27	bitr4id 199	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) ) )
29		df-rex 2481	. . . . 5 |- ( E. s e. B q = ( r G s ) <-> E. s ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) )
30	28, 29	bitr4di 198	. . . 4 |- ( ph -> ( E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. s e. B q = ( r G s ) ) )
31	30	rexbidv 2498	. . 3 |- ( ph -> ( E. r e. A E. s e. Q. ( s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r e. A E. s e. B q = ( r G s ) ) )
32	18, 31	bitrd 188	. 2 |- ( ph -> ( E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) <-> E. r e. A E. s e. B q = ( r G s ) ) )
33	32	rabbidv 2752	1 |- ( ph -> { q e. Q. | E. r e. Q. E. s e. Q. ( r e. A /\ s e. B /\ q = ( r G s ) ) } = { q e. Q. | E. r e. A E. s e. B q = ( r G s ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   {crab 2479  (class class class)co 5922   Q.cnq 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484

This theorem is referenced by:  genpdf  7575