Theorem indifdir 3429

Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
indifdir	|- ( ( A \ B ) i^i C ) = ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) )

Proof of Theorem indifdir

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3356	. . . 4 |- ( x e. ( A i^i C ) <-> ( x e. A /\ x e. C ) )
2		elin 3356	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
3	2	notbii 670	. . . 4 |- ( -. x e. ( B i^i C ) <-> -. ( x e. B /\ x e. C ) )
4	1, 3	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( x e. ( A i^i C ) /\ -. x e. ( B i^i C ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
5		eldif 3175	. . 3 |- ( x e. ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) ) <-> ( x e. ( A i^i C ) /\ -. x e. ( B i^i C ) ) )
6		elin 3356	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( x e. ( A \ B ) /\ x e. C ) )
7		eldif 3175	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
8	7	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) )
9	6, 8	bitri 184	. . . 4 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) )
10		an32 562	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) )
11		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ x e. C ) -> x e. B )
12	11	con3i 633	. . . . . . 7 |- ( -. x e. B -> -. ( x e. B /\ x e. C ) )
13	12	anim2i 342	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) -> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
14		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( x e. A /\ x e. C ) )
15		ax-in2 616	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x e. C ) -> ( ( x e. B /\ x e. C ) -> F. ) )
16	15	expcomd 1461	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x e. B /\ x e. C ) -> ( x e. C -> ( x e. B -> F. ) ) )
17	16	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. C /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( x e. B -> F. ) )
18		dfnot 1391	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. B <-> ( x e. B -> F. ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. C /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> -. x e. B )
20	19	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> -. x e. B )
21	14, 20	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) )
22	13, 21	impbii 126	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
23	10, 22	bitri 184	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
24	9, 23	bitri 184	. . 3 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
25	4, 5, 24	3bitr4ri 213	. 2 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> x e. ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) ) )
26	25	eqriv 2202	1 |- ( ( A \ B ) i^i C ) = ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   F. wfal 1378   e. wcel 2176   \ cdif 3163   i^i cin 3165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-in 3172

This theorem is referenced by: (None)