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Theorem indifdir 3391
Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
indifdir  |-  ( ( A  \  B )  i^i  C )  =  ( ( A  i^i  C )  \  ( B  i^i  C ) )

Proof of Theorem indifdir
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3318 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) )
2 elin 3318 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) )
32notbii 668 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  ( B  i^i  C )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)
41, 3anbi12i 460 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  C )  /\  -.  x  e.  ( B  i^i  C ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) ) )
5 eldif 3138 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A  i^i  C )  \ 
( B  i^i  C
) )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  C
)  /\  -.  x  e.  ( B  i^i  C
) ) )
6 elin 3318 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x  e.  C ) )
7 eldif 3138 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
87anbi1i 458 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x  e.  C )  <->  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C ) )
96, 8bitri 184 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C ) )
10 an32 562 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  x  e.  B
) )
11 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  B )
1211con3i 632 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  B  ->  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )
1312anim2i 342 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  x  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
) )
14 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)  ->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) )
15 ax-in2 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  B  /\  x  e.  C )  -> F.  ) )
1615expcomd 1441 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  C  ->  ( x  e.  B  -> F.  ) ) )
1716impcom 125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  C  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )  ->  (
x  e.  B  -> F.  ) )
18 dfnot 1371 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  -> F.  )
)
1917, 18sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )  ->  -.  x  e.  B )
2019adantll 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)  ->  -.  x  e.  B )
2114, 20jca 306 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  x  e.  B
) )
2213, 21impbii 126 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  x  e.  B )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
2310, 22bitri 184 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
249, 23bitri 184 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
254, 5, 243bitr4ri 213 . 2  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  x  e.  ( ( A  i^i  C )  \  ( B  i^i  C ) ) )
2625eqriv 2174 1  |-  ( ( A  \  B )  i^i  C )  =  ( ( A  i^i  C )  \  ( B  i^i  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353   F. wfal 1358    e. wcel 2148    \ cdif 3126    i^i cin 3128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135
This theorem is referenced by: (None)
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