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Theorem indifdir 3253
Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
indifdir  |-  ( ( A  \  B )  i^i  C )  =  ( ( A  i^i  C )  \  ( B  i^i  C ) )

Proof of Theorem indifdir
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3181 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) )
2 elin 3181 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) )
32notbii 629 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  ( B  i^i  C )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)
41, 3anbi12i 448 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  C )  /\  -.  x  e.  ( B  i^i  C ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) ) )
5 eldif 3006 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A  i^i  C )  \ 
( B  i^i  C
) )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  C
)  /\  -.  x  e.  ( B  i^i  C
) ) )
6 elin 3181 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  ( x  e.  ( A  \  B
)  /\  x  e.  C ) )
7 eldif 3006 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
87anbi1i 446 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  B )  /\  x  e.  C )  <->  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C ) )
96, 8bitri 182 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C ) )
10 an32 529 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  x  e.  B
) )
11 simpl 107 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  B )
1211con3i 597 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  B  ->  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )
1312anim2i 334 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  x  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
) )
14 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)  ->  ( x  e.  A  /\  x  e.  C ) )
15 ax-in2 580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  B  /\  x  e.  C )  -> F.  ) )
1615expcomd 1375 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  C  ->  ( x  e.  B  -> F.  ) ) )
1716impcom 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  C  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )  ->  (
x  e.  B  -> F.  ) )
18 dfnot 1307 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  -> F.  )
)
1917, 18sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )  ->  -.  x  e.  B )
2019adantll 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)  ->  -.  x  e.  B )
2114, 20jca 300 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  (
x  e.  B  /\  x  e.  C )
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  x  e.  B
) )
2213, 21impbii 124 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  C
)  /\  -.  x  e.  B )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
2310, 22bitri 182 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  /\  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
249, 23bitri 182 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  C )  /\  -.  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) ) )
254, 5, 243bitr4ri 211 . 2  |-  ( x  e.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C )  <->  x  e.  ( ( A  i^i  C )  \  ( B  i^i  C ) ) )
2625eqriv 2085 1  |-  ( ( A  \  B )  i^i  C )  =  ( ( A  i^i  C )  \  ( B  i^i  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289   F. wfal 1294    e. wcel 1438    \ cdif 2994    i^i cin 2996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-in 3003
This theorem is referenced by: (None)
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