Theorem indifdir 3298

Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
indifdir	|- ( ( A \ B ) i^i C ) = ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) )

Proof of Theorem indifdir

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3225	. . . 4 |- ( x e. ( A i^i C ) <-> ( x e. A /\ x e. C ) )
2		elin 3225	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
3	2	notbii 640	. . . 4 |- ( -. x e. ( B i^i C ) <-> -. ( x e. B /\ x e. C ) )
4	1, 3	anbi12i 453	. . 3 |- ( ( x e. ( A i^i C ) /\ -. x e. ( B i^i C ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
5		eldif 3046	. . 3 |- ( x e. ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) ) <-> ( x e. ( A i^i C ) /\ -. x e. ( B i^i C ) ) )
6		elin 3225	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( x e. ( A \ B ) /\ x e. C ) )
7		eldif 3046	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
8	7	anbi1i 451	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) )
9	6, 8	bitri 183	. . . 4 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) )
10		an32 534	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) )
11		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ x e. C ) -> x e. B )
12	11	con3i 604	. . . . . . 7 |- ( -. x e. B -> -. ( x e. B /\ x e. C ) )
13	12	anim2i 337	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) -> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
14		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( x e. A /\ x e. C ) )
15		ax-in2 587	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x e. C ) -> ( ( x e. B /\ x e. C ) -> F. ) )
16	15	expcomd 1400	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x e. B /\ x e. C ) -> ( x e. C -> ( x e. B -> F. ) ) )
17	16	impcom 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. C /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( x e. B -> F. ) )
18		dfnot 1332	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. B <-> ( x e. B -> F. ) )
19	17, 18	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. C /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> -. x e. B )
20	19	adantll 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> -. x e. B )
21	14, 20	jca 302	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) )
22	13, 21	impbii 125	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
23	10, 22	bitri 183	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
24	9, 23	bitri 183	. . 3 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
25	4, 5, 24	3bitr4ri 212	. 2 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> x e. ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) ) )
26	25	eqriv 2112	1 |- ( ( A \ B ) i^i C ) = ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   F. wfal 1319   e. wcel 1463   \ cdif 3034   i^i cin 3036

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-v 2659  df-dif 3039  df-in 3043

This theorem is referenced by: (None)