Theorem indifdir 3391

Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
indifdir	|- ( ( A \ B ) i^i C ) = ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) )

Proof of Theorem indifdir

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3318	. . . 4 |- ( x e. ( A i^i C ) <-> ( x e. A /\ x e. C ) )
2		elin 3318	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
3	2	notbii 668	. . . 4 |- ( -. x e. ( B i^i C ) <-> -. ( x e. B /\ x e. C ) )
4	1, 3	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( x e. ( A i^i C ) /\ -. x e. ( B i^i C ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
5		eldif 3138	. . 3 |- ( x e. ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) ) <-> ( x e. ( A i^i C ) /\ -. x e. ( B i^i C ) ) )
6		elin 3318	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( x e. ( A \ B ) /\ x e. C ) )
7		eldif 3138	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
8	7	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) )
9	6, 8	bitri 184	. . . 4 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) )
10		an32 562	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) )
11		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ x e. C ) -> x e. B )
12	11	con3i 632	. . . . . . 7 |- ( -. x e. B -> -. ( x e. B /\ x e. C ) )
13	12	anim2i 342	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) -> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
14		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( x e. A /\ x e. C ) )
15		ax-in2 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x e. C ) -> ( ( x e. B /\ x e. C ) -> F. ) )
16	15	expcomd 1441	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x e. B /\ x e. C ) -> ( x e. C -> ( x e. B -> F. ) ) )
17	16	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. C /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( x e. B -> F. ) )
18		dfnot 1371	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. B <-> ( x e. B -> F. ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. C /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> -. x e. B )
20	19	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> -. x e. B )
21	14, 20	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) )
22	13, 21	impbii 126	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
23	10, 22	bitri 184	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
24	9, 23	bitri 184	. . 3 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
25	4, 5, 24	3bitr4ri 213	. 2 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> x e. ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) ) )
26	25	eqriv 2174	1 |- ( ( A \ B ) i^i C ) = ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   F. wfal 1358   e. wcel 2148   \ cdif 3126   i^i cin 3128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135

This theorem is referenced by: (None)