Theorem moexexdc 2122

Description: "At most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
moexexdc.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
moexexdc	|- (DECID E. x ph -> ( ( E* x ph /\ A. x E* y ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )

Proof of Theorem moexexdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dc 836	. 2 |- (DECID E. x ph <-> ( E. x ph \/ -. E. x ph ) )
2		hbmo1 2076	. . . . . 6 |- ( E* x ph -> A. x E* x ph )
3		hba1 1551	. . . . . . 7 |- ( A. x E* y ps -> A. x A. x E* y ps )
4		hbe1 1506	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> A. x E. x ( ph /\ ps ) )
5	4	hbmo 2077	. . . . . . 7 |- ( E* y E. x ( ph /\ ps ) -> A. x E* y E. x ( ph /\ ps ) )
6	3, 5	hbim 1556	. . . . . 6 |- ( ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) -> A. x ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
7	2, 6	hbim 1556	. . . . 5 |- ( ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) -> A. x ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
8		moexexdc.1	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
9	8	nfri 1530	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y ph )
10	9	hbmo 2077	. . . . . . 7 |- ( E* x ph -> A. y E* x ph )
11		mopick 2116	. . . . . . . . 9 |- ( ( E* x ph /\ E. x ( ph /\ ps ) ) -> ( ph -> ps ) )
12	11	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( E* x ph -> ( E. x ( ph /\ ps ) -> ( ph -> ps ) ) )
13	12	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E* x ph -> ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) ) )
14	9, 10, 13	alrimdh 1490	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E* x ph -> A. y ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) ) )
15		moim 2102	. . . . . . 7 |- ( A. y ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) -> ( E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
16	15	spsd 1549	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
17	14, 16	syl6 33	. . . . 5 |- ( ph -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
18	7, 17	exlimih 1604	. . . 4 |- ( E. x ph -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
19	9	hbex 1647	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ph -> A. y E. x ph )
20		exsimpl 1628	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ph )
21	19, 20	exlimih 1604	. . . . . . . 8 |- ( E. y E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ph )
22	21	con3i 633	. . . . . . 7 |- ( -. E. x ph -> -. E. y E. x ( ph /\ ps ) )
23		mon 2067	. . . . . . 7 |- ( -. E. y E. x ( ph /\ ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( -. E. x ph -> E* y E. x ( ph /\ ps ) )
25	24	a1d 22	. . . . 5 |- ( -. E. x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
26	25	a1d 22	. . . 4 |- ( -. E. x ph -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
27	18, 26	jaoi 717	. . 3 |- ( ( E. x ph \/ -. E. x ph ) -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
28	27	impd 254	. 2 |- ( ( E. x ph \/ -. E. x ph ) -> ( ( E* x ph /\ A. x E* y ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
29	1, 28	sylbi 121	1 |- (DECID E. x ph -> ( ( E* x ph /\ A. x E* y ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   A.wal 1362   F/wnf 1471   E.wex 1503   E*wmo 2039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042

This theorem is referenced by:  2moswapdc  2128