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Theorem moexexdc 2122
Description: "At most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
moexexdc.1  |-  F/ y
ph
Assertion
Ref Expression
moexexdc  |-  (DECID  E. x ph  ->  ( ( E* x ph  /\  A. x E* y ps )  ->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
) )

Proof of Theorem moexexdc
StepHypRef Expression
1 df-dc 836 . 2  |-  (DECID  E. x ph 
<->  ( E. x ph  \/  -.  E. x ph ) )
2 hbmo1 2076 . . . . . 6  |-  ( E* x ph  ->  A. x E* x ph )
3 hba1 1551 . . . . . . 7  |-  ( A. x E* y ps  ->  A. x A. x E* y ps )
4 hbe1 1506 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( ph  /\  ps )  ->  A. x E. x ( ph  /\  ps ) )
54hbmo 2077 . . . . . . 7  |-  ( E* y E. x (
ph  /\  ps )  ->  A. x E* y E. x ( ph  /\  ps ) )
63, 5hbim 1556 . . . . . 6  |-  ( ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\  ps ) )  ->  A. x
( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) )
72, 6hbim 1556 . . . . 5  |-  ( ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\  ps ) ) )  ->  A. x ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
8 moexexdc.1 . . . . . . . 8  |-  F/ y
ph
98nfri 1530 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y ph )
109hbmo 2077 . . . . . . 7  |-  ( E* x ph  ->  A. y E* x ph )
11 mopick 2116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* x ph  /\  E. x ( ph  /\  ps ) )  ->  ( ph  ->  ps ) )
1211ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( E* x ph  ->  ( E. x ( ph  /\  ps )  ->  ( ph  ->  ps ) ) )
1312com3r 79 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E* x ph  ->  ( E. x (
ph  /\  ps )  ->  ps ) ) )
149, 10, 13alrimdh 1490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E* x ph  ->  A. y ( E. x ( ph  /\  ps )  ->  ps )
) )
15 moim 2102 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( E. x
( ph  /\  ps )  ->  ps )  ->  ( E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) )
1615spsd 1549 . . . . . 6  |-  ( A. y ( E. x
( ph  /\  ps )  ->  ps )  ->  ( A. x E* y ps 
->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
) )
1714, 16syl6 33 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
187, 17exlimih 1604 . . . 4  |-  ( E. x ph  ->  ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps 
->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
) ) )
199hbex 1647 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ph  ->  A. y E. x ph )
20 exsimpl 1628 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( ph  /\  ps )  ->  E. x ph )
2119, 20exlimih 1604 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. x (
ph  /\  ps )  ->  E. x ph )
2221con3i 633 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. x ph  ->  -. 
E. y E. x
( ph  /\  ps )
)
23 mon 2067 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. y E. x
( ph  /\  ps )  ->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
)
2422, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( -. 
E. x ph  ->  E* y E. x (
ph  /\  ps )
)
2524a1d 22 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\  ps ) ) )
2625a1d 22 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ph  ->  ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\  ps ) ) ) )
2718, 26jaoi 717 . . 3  |-  ( ( E. x ph  \/  -.  E. x ph )  ->  ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
2827impd 254 . 2  |-  ( ( E. x ph  \/  -.  E. x ph )  ->  ( ( E* x ph  /\  A. x E* y ps )  ->  E* y E. x (
ph  /\  ps )
) )
291, 28sylbi 121 1  |-  (DECID  E. x ph  ->  ( ( E* x ph  /\  A. x E* y ps )  ->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709  DECID wdc 835   A.wal 1362   F/wnf 1471   E.wex 1503   E*wmo 2039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042
This theorem is referenced by:  2moswapdc  2128
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