Theorem mpoeq123 5830

Description: An equality theorem for the maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mpoeq123	|- ( ( A = D /\ A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. D , y e. E |-> F ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, D, y   y, E

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   E( x)   F( x, y)

Proof of Theorem mpoeq123

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1508	. . . 4 |- F/ x A = D
2		nfra1 2466	. . . 4 |- F/ x A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F )
3	1, 2	nfan 1544	. . 3 |- F/ x ( A = D /\ A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) )
4		nfv 1508	. . . 4 |- F/ y A = D
5		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ y A
6		nfv 1508	. . . . . 6 |- F/ y B = E
7		nfra1 2466	. . . . . 6 |- F/ y A. y e. B C = F
8	6, 7	nfan 1544	. . . . 5 |- F/ y ( B = E /\ A. y e. B C = F )
9	5, 8	nfralxy 2471	. . . 4 |- F/ y A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F )
10	4, 9	nfan 1544	. . 3 |- F/ y ( A = D /\ A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) )
11		nfv 1508	. . 3 |- F/ z ( A = D /\ A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) )
12		rsp 2480	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) -> ( x e. A -> ( B = E /\ A. y e. B C = F ) ) )
13		rsp 2480	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. B C = F -> ( y e. B -> C = F ) )
14		eqeq2 2149	. . . . . . . . . 10 |- ( C = F -> ( z = C <-> z = F ) )
15	13, 14	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B C = F -> ( y e. B -> ( z = C <-> z = F ) ) )
16	15	pm5.32d 445	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B C = F -> ( ( y e. B /\ z = C ) <-> ( y e. B /\ z = F ) ) )
17		eleq2 2203	. . . . . . . . 9 |- ( B = E -> ( y e. B <-> y e. E ) )
18	17	anbi1d 460	. . . . . . . 8 |- ( B = E -> ( ( y e. B /\ z = F ) <-> ( y e. E /\ z = F ) ) )
19	16, 18	sylan9bbr 458	. . . . . . 7 |- ( ( B = E /\ A. y e. B C = F ) -> ( ( y e. B /\ z = C ) <-> ( y e. E /\ z = F ) ) )
20	12, 19	syl6 33	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) -> ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z = C ) <-> ( y e. E /\ z = F ) ) ) )
21	20	pm5.32d 445	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) -> ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z = C ) ) <-> ( x e. A /\ ( y e. E /\ z = F ) ) ) )
22		eleq2 2203	. . . . . 6 |- ( A = D -> ( x e. A <-> x e. D ) )
23	22	anbi1d 460	. . . . 5 |- ( A = D -> ( ( x e. A /\ ( y e. E /\ z = F ) ) <-> ( x e. D /\ ( y e. E /\ z = F ) ) ) )
24	21, 23	sylan9bbr 458	. . . 4 |- ( ( A = D /\ A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) ) -> ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z = C ) ) <-> ( x e. D /\ ( y e. E /\ z = F ) ) ) )
25		anass 398	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z = C ) ) )
26		anass 398	. . . 4 |- ( ( ( x e. D /\ y e. E ) /\ z = F ) <-> ( x e. D /\ ( y e. E /\ z = F ) ) )
27	24, 25, 26	3bitr4g 222	. . 3 |- ( ( A = D /\ A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) ) -> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( x e. D /\ y e. E ) /\ z = F ) ) )
28	3, 10, 11, 27	oprabbid 5824	. 2 |- ( ( A = D /\ A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. D /\ y e. E ) /\ z = F ) } )
29		df-mpo 5779	. 2 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
30		df-mpo 5779	. 2 |- ( x e. D , y e. E |-> F ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. D /\ y e. E ) /\ z = F ) }
31	28, 29, 30	3eqtr4g 2197	1 |- ( ( A = D /\ A. x e. A ( B = E /\ A. y e. B C = F ) ) -> ( x e. A , y e. B |-> C ) = ( x e. D , y e. E |-> F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   {coprab 5775   e. cmpo 5776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-oprab 5778  df-mpo 5779

This theorem is referenced by:  mpoeq12  5831  mapxpen  6742