Theorem eqoprab2b 6089

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eqoprab2b	|- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) )

Proof of Theorem eqoprab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssoprab2b 6088	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )
2		ssoprab2b 6088	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> A. x A. y A. z ( ps -> ph ) )
3	1, 2	anbi12i 460	. 2 |- ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } /\ { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
4		eqss 3243	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } /\ { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) )
5		2albiim 1537	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
6	5	albii 1519	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> A. x ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
7		19.26 1530	. . 3 |- ( A. x ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
9	3, 4, 8	3bitr4i 212	1 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   C_ wss 3201   {coprab 6029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-oprab 6032

This theorem is referenced by:  mpo2eqb  6141