Theorem eqoprab2b 5980

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4314. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eqoprab2b	|- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) )

Proof of Theorem eqoprab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssoprab2b 5979	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )
2		ssoprab2b 5979	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> A. x A. y A. z ( ps -> ph ) )
3	1, 2	anbi12i 460	. 2 |- ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } /\ { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
4		eqss 3198	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } /\ { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) )
5		2albiim 1502	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
6	5	albii 1484	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> A. x ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
7		19.26 1495	. . 3 |- ( A. x ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
9	3, 4, 8	3bitr4i 212	1 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   C_ wss 3157   {coprab 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-oprab 5926

This theorem is referenced by:  mpo2eqb  6032