ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqoprab2b Unicode version

Theorem eqoprab2b 5927
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4276. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2b  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  A. x A. y A. z (
ph 
<->  ps ) )

Proof of Theorem eqoprab2b
StepHypRef Expression
1 ssoprab2b 5926 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
2 ssoprab2b 5926 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) )
31, 2anbi12i 460 . 2  |-  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  /\  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ps }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
4 eqss 3170 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  /\  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ps }  C_  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } ) )
5 2albiim 1488 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ph  <->  ps )  <->  ( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
65albii 1470 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  <->  ps )  <->  A. x
( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
7 19.26 1481 . . 3  |-  ( A. x ( A. y A. z ( ph  ->  ps )  /\  A. y A. z ( ps  ->  ph ) )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
86, 7bitri 184 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  <->  ps )  <->  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y A. z ( ps  ->  ph ) ) )
93, 4, 83bitr4i 212 1  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  A. x A. y A. z (
ph 
<->  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353    C_ wss 3129   {coprab 5870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-oprab 5873
This theorem is referenced by:  mpo2eqb  5978
  Copyright terms: Public domain W3C validator