Theorem eqoprab2b 6136

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4417. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eqoprab2b	|- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) )

Proof of Theorem eqoprab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssoprab2b 6135	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )
2		ssoprab2b 6135	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> A. x A. y A. z ( ps -> ph ) )
3	1, 2	anbi12i 464	. 2 |- ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } /\ { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
4		eqss 3263	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } /\ { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) )
5		2albiim 1541	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
6	5	albii 1523	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> A. x ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
7		19.26 1534	. . 3 |- ( A. x ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
9	3, 4, 8	3bitr4i 212	1 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   C_ wss 3220   {coprab 6076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-oprab 6079

This theorem is referenced by:  mpo2eqb  6188