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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mapxpen | Unicode version |
Description: Equinumerosity law for double set exponentiation. Proposition 10.45 of [TakeutiZaring] p. 96. (Contributed by NM, 21-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) |
Ref | Expression |
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mapxpen |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fnmap 6681 |
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2 | elex 2763 |
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3 | 2 | 3ad2ant1 1020 |
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4 | elex 2763 |
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5 | 4 | 3ad2ant2 1021 |
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6 | fnovex 5929 |
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7 | 1, 3, 5, 6 | mp3an2i 1353 |
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8 | elex 2763 |
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9 | 8 | 3ad2ant3 1022 |
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10 | fnovex 5929 |
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11 | 1, 7, 9, 10 | mp3an2i 1353 |
. 2
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12 | xpexg 4758 |
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13 | 12 | 3adant1 1017 |
. . 3
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14 | fnovex 5929 |
. . 3
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15 | 1, 3, 13, 14 | mp3an2i 1353 |
. 2
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16 | elmapi 6696 |
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17 | 16 | ffvelcdmda 5672 |
. . . . . . . . 9
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18 | elmapi 6696 |
. . . . . . . . 9
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19 | 17, 18 | syl 14 |
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20 | 19 | ffvelcdmda 5672 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | an32s 568 |
. . . . . 6
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22 | 21 | ralrimiva 2563 |
. . . . 5
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23 | 22 | ralrimiva 2563 |
. . . 4
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24 | eqid 2189 |
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25 | 24 | fmpo 6226 |
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26 | 23, 25 | sylib 122 |
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27 | simp1 999 |
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28 | 27, 13 | elmapd 6688 |
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29 | 26, 28 | imbitrrid 156 |
. 2
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30 | elmapi 6696 |
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31 | 30 | adantl 277 |
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32 | fovcdm 6039 |
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33 | 32 | 3expa 1205 |
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34 | 33 | an32s 568 |
. . . . . . . 8
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35 | 31, 34 | sylanl1 402 |
. . . . . . 7
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36 | eqid 2189 |
. . . . . . 7
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37 | 35, 36 | fmptd 5691 |
. . . . . 6
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38 | elmapg 6687 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | 3adant3 1019 |
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40 | 39 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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41 | 37, 40 | mpbird 167 |
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42 | eqid 2189 |
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43 | 41, 42 | fmptd 5691 |
. . . 4
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44 | 43 | ex 115 |
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45 | simp3 1001 |
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46 | 7, 45 | elmapd 6688 |
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47 | 44, 46 | sylibrd 169 |
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48 | elmapfn 6697 |
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49 | 48 | ad2antll 491 |
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50 | fnovim 6005 |
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51 | 49, 50 | syl 14 |
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52 | simp3 1001 |
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53 | 37 | adantlrl 482 |
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54 | 53 | 3adant2 1018 |
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55 | simp1l2 1093 |
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56 | simp1l1 1092 |
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57 | fex2 5403 |
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58 | 54, 55, 56, 57 | syl3anc 1249 |
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59 | 42 | fvmpt2 5620 |
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60 | 52, 58, 59 | syl2anc 411 |
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61 | 60 | fveq1d 5536 |
. . . . . . . 8
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62 | simp2 1000 |
. . . . . . . . 9
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63 | vex 2755 |
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. . . . . . . . . 10
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66 | ovexg 5930 |
. . . . . . . . . 10
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67 | 63, 64, 65, 66 | mp3an 1348 |
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68 | 36 | fvmpt2 5620 |
. . . . . . . . 9
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69 | 62, 67, 68 | sylancl 413 |
. . . . . . . 8
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70 | 61, 69 | eqtrd 2222 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | mpoeq3dva 5960 |
. . . . . 6
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72 | 51, 71 | eqtr4d 2225 |
. . . . 5
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73 | eqid 2189 |
. . . . . . 7
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74 | nfcv 2332 |
. . . . . . . . . 10
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75 | nfmpt1 4111 |
. . . . . . . . . 10
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76 | 74, 75 | nfmpt 4110 |
. . . . . . . . 9
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77 | 76 | nfeq2 2344 |
. . . . . . . 8
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78 | nfmpt1 4111 |
. . . . . . . . . . . 12
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79 | 78 | nfeq2 2344 |
. . . . . . . . . . 11
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80 | fveq1 5533 |
. . . . . . . . . . . . 13
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81 | 80 | fveq1d 5536 |
. . . . . . . . . . . 12
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82 | 81 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . 11
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83 | 79, 82 | ralrimi 2561 |
. . . . . . . . . 10
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84 | eqid 2189 |
. . . . . . . . . 10
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85 | 83, 84 | jctil 312 |
. . . . . . . . 9
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86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . 8
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87 | 77, 86 | ralrimi 2561 |
. . . . . . 7
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88 | mpoeq123 5955 |
. . . . . . 7
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89 | 73, 87, 88 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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90 | 89 | eqeq2d 2201 |
. . . . 5
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91 | 72, 90 | syl5ibrcom 157 |
. . . 4
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92 | 16 | ad2antrl 490 |
. . . . . . 7
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93 | 92 | feqmptd 5590 |
. . . . . 6
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94 | simprl 529 |
. . . . . . . . 9
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95 | 94, 19 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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96 | 95 | feqmptd 5590 |
. . . . . . 7
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97 | 96 | mpteq2dva 4108 |
. . . . . 6
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98 | 93, 97 | eqtrd 2222 |
. . . . 5
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99 | nfmpo2 5964 |
. . . . . . . . 9
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100 | 99 | nfeq2 2344 |
. . . . . . . 8
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101 | eqidd 2190 |
. . . . . . . . 9
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102 | nfmpo1 5963 |
. . . . . . . . . . 11
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103 | 102 | nfeq2 2344 |
. . . . . . . . . 10
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104 | nfv 1539 |
. . . . . . . . . 10
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105 | vex 2755 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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106 | 105, 65 | fvex 5554 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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107 | 106, 63 | fvex 5554 |
. . . . . . . . . . . . 13
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108 | 24 | ovmpt4g 6019 |
. . . . . . . . . . . . 13
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109 | 107, 108 | mp3an3 1337 |
. . . . . . . . . . . 12
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110 | oveq 5902 |
. . . . . . . . . . . . 13
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111 | 110 | eqeq1d 2198 |
. . . . . . . . . . . 12
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112 | 109, 111 | imbitrrid 156 |
. . . . . . . . . . 11
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113 | 112 | expcomd 1452 |
. . . . . . . . . 10
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114 | 103, 104, 113 | ralrimd 2568 |
. . . . . . . . 9
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115 | mpteq12 4101 |
. . . . . . . . 9
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116 | 101, 114, 115 | syl6an 1445 |
. . . . . . . 8
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117 | 100, 116 | ralrimi 2561 |
. . . . . . 7
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118 | mpteq12 4101 |
. . . . . . 7
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119 | 84, 117, 118 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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120 | 119 | eqeq2d 2201 |
. . . . 5
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121 | 98, 120 | syl5ibrcom 157 |
. . . 4
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122 | 91, 121 | impbid 129 |
. . 3
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123 | 122 | ex 115 |
. 2
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124 | 11, 15, 29, 47, 123 | en3d 6795 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4311 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-ov 5899 df-oprab 5900 df-mpo 5901 df-1st 6165 df-2nd 6166 df-map 6676 df-en 6767 |
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