Theorem mapxpen 6945

Description: Equinumerosity law for double set exponentiation. Proposition 10.45 of [TakeutiZaring] p. 96. (Contributed by NM, 21-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapxpen	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( A ^m B ) ^m C ) ~~ ( A ^m ( B X. C ) ) )

Proof of Theorem mapxpen

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6742	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		elex 2783	. . . . 5 |- ( A e. V -> A e. _V )
3	2	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> A e. _V )
4		elex 2783	. . . . 5 |- ( B e. W -> B e. _V )
5	4	3ad2ant2 1022	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> B e. _V )
6		fnovex 5977	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ^m B ) e. _V )
7	1, 3, 5, 6	mp3an2i 1355	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A ^m B ) e. _V )
8		elex 2783	. . . 4 |- ( C e. X -> C e. _V )
9	8	3ad2ant3 1023	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> C e. _V )
10		fnovex 5977	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ( A ^m B ) e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( A ^m B ) ^m C ) e. _V )
11	1, 7, 9, 10	mp3an2i 1355	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( A ^m B ) ^m C ) e. _V )
12		xpexg 4789	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ C e. X ) -> ( B X. C ) e. _V )
13	12	3adant1 1018	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( B X. C ) e. _V )
14		fnovex 5977	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ A e. _V /\ ( B X. C ) e. _V ) -> ( A ^m ( B X. C ) ) e. _V )
15	1, 3, 13, 14	mp3an2i 1355	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( A ^m ( B X. C ) ) e. _V )
16		elmapi 6757	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) -> f : C --> ( A ^m B ) )
17	16	ffvelcdmda 5715	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ y e. C ) -> ( f ` y ) e. ( A ^m B ) )
18		elmapi 6757	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` y ) e. ( A ^m B ) -> ( f ` y ) : B --> A )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ y e. C ) -> ( f ` y ) : B --> A )
20	19	ffvelcdmda 5715	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ y e. C ) /\ x e. B ) -> ( ( f ` y ) ` x ) e. A )
21	20	an32s 568	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ x e. B ) /\ y e. C ) -> ( ( f ` y ) ` x ) e. A )
22	21	ralrimiva 2579	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ x e. B ) -> A. y e. C ( ( f ` y ) ` x ) e. A )
23	22	ralrimiva 2579	. . . 4 |- ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) -> A. x e. B A. y e. C ( ( f ` y ) ` x ) e. A )
24		eqid 2205	. . . . 5 |- ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) )
25	24	fmpo 6287	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. C ( ( f ` y ) ` x ) e. A <-> ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) : ( B X. C ) --> A )
26	23, 25	sylib 122	. . 3 |- ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) -> ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) : ( B X. C ) --> A )
27		simp1 1000	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> A e. V )
28	27, 13	elmapd 6749	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) e. ( A ^m ( B X. C ) ) <-> ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) : ( B X. C ) --> A ) )
29	26, 28	imbitrrid 156	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) -> ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) )
30		elmapi 6757	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( A ^m ( B X. C ) ) -> g : ( B X. C ) --> A )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) -> g : ( B X. C ) --> A )
32		fovcdm 6089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : ( B X. C ) --> A /\ x e. B /\ y e. C ) -> ( x g y ) e. A )
33	32	3expa 1206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : ( B X. C ) --> A /\ x e. B ) /\ y e. C ) -> ( x g y ) e. A )
34	33	an32s 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g : ( B X. C ) --> A /\ y e. C ) /\ x e. B ) -> ( x g y ) e. A )
35	31, 34	sylanl1 402	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) /\ y e. C ) /\ x e. B ) -> ( x g y ) e. A )
36		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( x e. B |-> ( x g y ) ) = ( x e. B |-> ( x g y ) )
37	35, 36	fmptd 5734	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) /\ y e. C ) -> ( x e. B |-> ( x g y ) ) : B --> A )
38		elmapg 6748	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( x e. B |-> ( x g y ) ) e. ( A ^m B ) <-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) : B --> A ) )
39	38	3adant3 1020	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( x e. B |-> ( x g y ) ) e. ( A ^m B ) <-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) : B --> A ) )
40	39	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) /\ y e. C ) -> ( ( x e. B |-> ( x g y ) ) e. ( A ^m B ) <-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) : B --> A ) )
41	37, 40	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) /\ y e. C ) -> ( x e. B |-> ( x g y ) ) e. ( A ^m B ) )
42		eqid 2205	. . . . 5 |- ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) )
43	41, 42	fmptd 5734	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) -> ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) : C --> ( A ^m B ) )
44	43	ex 115	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( g e. ( A ^m ( B X. C ) ) -> ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) : C --> ( A ^m B ) ) )
45		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> C e. X )
46	7, 45	elmapd 6749	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) e. ( ( A ^m B ) ^m C ) <-> ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) : C --> ( A ^m B ) ) )
47	44, 46	sylibrd 169	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( g e. ( A ^m ( B X. C ) ) -> ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) e. ( ( A ^m B ) ^m C ) ) )
48		elmapfn 6758	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( A ^m ( B X. C ) ) -> g Fn ( B X. C ) )
49	48	ad2antll 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> g Fn ( B X. C ) )
50		fnovim 6054	. . . . . . 7 |- ( g Fn ( B X. C ) -> g = ( x e. B , y e. C |-> ( x g y ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> g = ( x e. B , y e. C |-> ( x g y ) ) )
52		simp3 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> y e. C )
53	37	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ y e. C ) -> ( x e. B |-> ( x g y ) ) : B --> A )
54	53	3adant2 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> ( x e. B |-> ( x g y ) ) : B --> A )
55		simp1l2 1094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> B e. W )
56		simp1l1 1093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> A e. V )
57		fex2 5444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. B |-> ( x g y ) ) : B --> A /\ B e. W /\ A e. V ) -> ( x e. B |-> ( x g y ) ) e. _V )
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> ( x e. B |-> ( x g y ) ) e. _V )
59	42	fvmpt2 5663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. C /\ ( x e. B |-> ( x g y ) ) e. _V ) -> ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) = ( x e. B |-> ( x g y ) ) )
60	52, 58, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) = ( x e. B |-> ( x g y ) ) )
61	60	fveq1d 5578	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) = ( ( x e. B |-> ( x g y ) ) ` x ) )
62		simp2 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> x e. B )
63		vex 2775	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
64		vex 2775	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
65		vex 2775	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
66		ovexg 5978	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V /\ g e. _V /\ y e. _V ) -> ( x g y ) e. _V )
67	63, 64, 65, 66	mp3an 1350	. . . . . . . . 9 |- ( x g y ) e. _V
68	36	fvmpt2 5663	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ ( x g y ) e. _V ) -> ( ( x e. B |-> ( x g y ) ) ` x ) = ( x g y ) )
69	62, 67, 68	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> ( ( x e. B |-> ( x g y ) ) ` x ) = ( x g y ) )
70	61, 69	eqtrd 2238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ x e. B /\ y e. C ) -> ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) = ( x g y ) )
71	70	mpoeq3dva 6009	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> ( x e. B , y e. C |-> ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) = ( x e. B , y e. C |-> ( x g y ) ) )
72	51, 71	eqtr4d 2241	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) )
73		eqid 2205	. . . . . . 7 |- B = B
74		nfcv 2348	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x C
75		nfmpt1 4137	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. B |-> ( x g y ) )
76	74, 75	nfmpt 4136	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) )
77	76	nfeq2 2360	. . . . . . . 8 |- F/ x f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) )
78		nfmpt1 4137	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) )
79	78	nfeq2 2360	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) )
80		fveq1 5575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> ( f ` y ) = ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) )
81	80	fveq1d 5578	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> ( ( f ` y ) ` x ) = ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) )
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> ( y e. C -> ( ( f ` y ) ` x ) = ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) )
83	79, 82	ralrimi 2577	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> A. y e. C ( ( f ` y ) ` x ) = ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) )
84		eqid 2205	. . . . . . . . . 10 |- C = C
85	83, 84	jctil 312	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> ( C = C /\ A. y e. C ( ( f ` y ) ` x ) = ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) )
86	85	a1d 22	. . . . . . . 8 |- ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> ( x e. B -> ( C = C /\ A. y e. C ( ( f ` y ) ` x ) = ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) ) )
87	77, 86	ralrimi 2577	. . . . . . 7 |- ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> A. x e. B ( C = C /\ A. y e. C ( ( f ` y ) ` x ) = ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) )
88		mpoeq123 6004	. . . . . . 7 |- ( ( B = B /\ A. x e. B ( C = C /\ A. y e. C ( ( f ` y ) ` x ) = ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) ) -> ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) = ( x e. B , y e. C |-> ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) )
89	73, 87, 88	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) = ( x e. B , y e. C |-> ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) )
90	89	eqeq2d 2217	. . . . 5 |- ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) <-> g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ` y ) ` x ) ) ) )
91	72, 90	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) -> g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) )
92	16	ad2antrl 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> f : C --> ( A ^m B ) )
93	92	feqmptd 5632	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> f = ( y e. C |-> ( f ` y ) ) )
94		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) )
95	94, 19	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ y e. C ) -> ( f ` y ) : B --> A )
96	95	feqmptd 5632	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) /\ y e. C ) -> ( f ` y ) = ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) )
97	96	mpteq2dva 4134	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> ( y e. C |-> ( f ` y ) ) = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) )
98	93, 97	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) )
99		nfmpo2 6013	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) )
100	99	nfeq2 2360	. . . . . . . 8 |- F/ y g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) )
101		eqidd 2206	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> B = B )
102		nfmpo1 6012	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) )
103	102	nfeq2 2360	. . . . . . . . . 10 |- F/ x g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) )
104		nfv 1551	. . . . . . . . . 10 |- F/ x y e. C
105		vex 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
106	105, 65	fvex 5596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f ` y ) e. _V
107	106, 63	fvex 5596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) ` x ) e. _V
108	24	ovmpt4g 6068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ y e. C /\ ( ( f ` y ) ` x ) e. _V ) -> ( x ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) y ) = ( ( f ` y ) ` x ) )
109	107, 108	mp3an3 1339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ( x ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) y ) = ( ( f ` y ) ` x ) )
110		oveq 5950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> ( x g y ) = ( x ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) y ) )
111	110	eqeq1d 2214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> ( ( x g y ) = ( ( f ` y ) ` x ) <-> ( x ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) y ) = ( ( f ` y ) ` x ) ) )
112	109, 111	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ( x g y ) = ( ( f ` y ) ` x ) ) )
113	112	expcomd 1461	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> ( y e. C -> ( x e. B -> ( x g y ) = ( ( f ` y ) ` x ) ) ) )
114	103, 104, 113	ralrimd 2584	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> ( y e. C -> A. x e. B ( x g y ) = ( ( f ` y ) ` x ) ) )
115		mpteq12 4127	. . . . . . . . 9 |- ( ( B = B /\ A. x e. B ( x g y ) = ( ( f ` y ) ` x ) ) -> ( x e. B |-> ( x g y ) ) = ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) )
116	101, 114, 115	syl6an 1454	. . . . . . . 8 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> ( y e. C -> ( x e. B |-> ( x g y ) ) = ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) )
117	100, 116	ralrimi 2577	. . . . . . 7 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> A. y e. C ( x e. B |-> ( x g y ) ) = ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) )
118		mpteq12 4127	. . . . . . 7 |- ( ( C = C /\ A. y e. C ( x e. B |-> ( x g y ) ) = ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) -> ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) )
119	84, 117, 118	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) )
120	119	eqeq2d 2217	. . . . 5 |- ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) <-> f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) ) )
121	98, 120	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> ( g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) -> f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) ) )
122	91, 121	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) ) -> ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) <-> g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) )
123	122	ex 115	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( f e. ( ( A ^m B ) ^m C ) /\ g e. ( A ^m ( B X. C ) ) ) -> ( f = ( y e. C |-> ( x e. B |-> ( x g y ) ) ) <-> g = ( x e. B , y e. C |-> ( ( f ` y ) ` x ) ) ) ) )
124	11, 15, 29, 47, 123	en3d 6860	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( A ^m B ) ^m C ) ~~ ( A ^m ( B X. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   class class class wbr 4044   |-> cmpt 4105   X. cxp 4673   Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946   ^m cmap 6735   ~~ cen 6825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-en 6828

This theorem is referenced by: (None)