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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mapxpen | Unicode version |
Description: Equinumerosity law for double set exponentiation. Proposition 10.45 of [TakeutiZaring] p. 96. (Contributed by NM, 21-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) |
Ref | Expression |
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mapxpen |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fnmap 6501 |
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2 | elex 2666 |
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3 | 2 | 3ad2ant1 983 |
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4 | elex 2666 |
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5 | 4 | 3ad2ant2 984 |
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6 | fnovex 5756 |
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7 | 1, 3, 5, 6 | mp3an2i 1301 |
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8 | elex 2666 |
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9 | 8 | 3ad2ant3 985 |
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10 | fnovex 5756 |
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11 | 1, 7, 9, 10 | mp3an2i 1301 |
. 2
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12 | xpexg 4611 |
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13 | 12 | 3adant1 980 |
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14 | fnovex 5756 |
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15 | 1, 3, 13, 14 | mp3an2i 1301 |
. 2
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16 | elmapi 6516 |
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17 | 16 | ffvelrnda 5507 |
. . . . . . . . 9
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18 | elmapi 6516 |
. . . . . . . . 9
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19 | 17, 18 | syl 14 |
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20 | 19 | ffvelrnda 5507 |
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21 | 20 | an32s 540 |
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22 | 21 | ralrimiva 2477 |
. . . . 5
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23 | 22 | ralrimiva 2477 |
. . . 4
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24 | eqid 2113 |
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25 | 24 | fmpo 6051 |
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26 | 23, 25 | sylib 121 |
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27 | simp1 962 |
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28 | 27, 13 | elmapd 6508 |
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29 | 26, 28 | syl5ibr 155 |
. 2
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30 | elmapi 6516 |
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31 | 30 | adantl 273 |
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32 | fovrn 5865 |
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33 | 32 | 3expa 1162 |
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34 | 33 | an32s 540 |
. . . . . . . 8
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35 | 31, 34 | sylanl1 397 |
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36 | eqid 2113 |
. . . . . . 7
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37 | 35, 36 | fmptd 5526 |
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38 | elmapg 6507 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | 3adant3 982 |
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40 | 39 | ad2antrr 477 |
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41 | 37, 40 | mpbird 166 |
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42 | eqid 2113 |
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43 | 41, 42 | fmptd 5526 |
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44 | 43 | ex 114 |
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45 | simp3 964 |
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46 | 7, 45 | elmapd 6508 |
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47 | 44, 46 | sylibrd 168 |
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48 | elmapfn 6517 |
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49 | 48 | ad2antll 480 |
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50 | fnovim 5831 |
. . . . . . 7
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51 | 49, 50 | syl 14 |
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54 | 53 | 3adant2 981 |
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56 | simp1l1 1055 |
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69 | 62, 67, 68 | sylancl 407 |
. . . . . . . 8
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70 | 61, 69 | eqtrd 2145 |
. . . . . . 7
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. . . . . 6
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72 | 51, 71 | eqtr4d 2148 |
. . . . 5
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73 | eqid 2113 |
. . . . . . 7
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74 | nfcv 2253 |
. . . . . . . . . 10
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75 | nfmpt1 3979 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 76 | nfeq2 2265 |
. . . . . . . 8
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80 | fveq1 5372 |
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. . . . . . . . . 10
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84 | eqid 2113 |
. . . . . . . . . 10
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85 | 83, 84 | jctil 308 |
. . . . . . . . 9
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86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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89 | 73, 87, 88 | sylancr 408 |
. . . . . 6
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91 | 72, 90 | syl5ibrcom 156 |
. . . 4
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. . . . . . 7
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93 | 92 | feqmptd 5426 |
. . . . . 6
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95 | 94, 19 | sylan 279 |
. . . . . . . 8
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97 | 96 | mpteq2dva 3976 |
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98 | 93, 97 | eqtrd 2145 |
. . . . 5
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99 | nfmpo2 5791 |
. . . . . . . . 9
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100 | 99 | nfeq2 2265 |
. . . . . . . 8
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101 | eqidd 2114 |
. . . . . . . . 9
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102 | nfmpo1 5790 |
. . . . . . . . . . 11
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103 | 102 | nfeq2 2265 |
. . . . . . . . . 10
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104 | nfv 1489 |
. . . . . . . . . 10
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105 | vex 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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106 | 105, 65 | fvex 5393 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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107 | 106, 63 | fvex 5393 |
. . . . . . . . . . . . 13
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108 | 24 | ovmpt4g 5845 |
. . . . . . . . . . . . 13
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109 | 107, 108 | mp3an3 1285 |
. . . . . . . . . . . 12
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110 | oveq 5732 |
. . . . . . . . . . . . 13
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111 | 110 | eqeq1d 2121 |
. . . . . . . . . . . 12
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112 | 109, 111 | syl5ibr 155 |
. . . . . . . . . . 11
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113 | 112 | expcomd 1398 |
. . . . . . . . . 10
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114 | 103, 104, 113 | ralrimd 2482 |
. . . . . . . . 9
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115 | mpteq12 3969 |
. . . . . . . . 9
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116 | 101, 114, 115 | syl6an 1391 |
. . . . . . . 8
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117 | 100, 116 | ralrimi 2475 |
. . . . . . 7
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118 | mpteq12 3969 |
. . . . . . 7
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119 | 84, 117, 118 | sylancr 408 |
. . . . . 6
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120 | 119 | eqeq2d 2124 |
. . . . 5
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121 | 98, 120 | syl5ibrcom 156 |
. . . 4
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122 | 91, 121 | impbid 128 |
. . 3
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123 | 122 | ex 114 |
. 2
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124 | 11, 15, 29, 47, 123 | en3d 6615 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-sep 4004 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-ral 2393 df-rex 2394 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-csb 2970 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-iun 3779 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-id 4173 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-f1 5084 df-fo 5085 df-f1o 5086 df-fv 5087 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-1st 5990 df-2nd 5991 df-map 6496 df-en 6587 |
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