Theorem brres 4949

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brres	|- ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) )

Proof of Theorem brres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelres.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	opelres 4948	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
3		df-br 4031	. 2 |- ( A ( C |` D ) B <-> <. A , B >. e. ( C |` D ) )
4		df-br 4031	. . 3 |- ( A C B <-> <. A , B >. e. C )
5	4	anbi1i 458	. 2 |- ( ( A C B /\ A e. D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
6	2, 3, 5	3bitr4i 212	1 |- ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   <.cop 3622   class class class wbr 4030   |` cres 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-res 4672

This theorem is referenced by:  dfres2  4995  dfima2  5008  poirr2  5059  cores  5170  resco  5171  rnco  5173  fnres  5371  fvres  5579  nfunsn  5590  1stconst  6276  2ndconst  6277