Theorem brres 4931

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brres	|- ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) )

Proof of Theorem brres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelres.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	opelres 4930	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
3		df-br 4019	. 2 |- ( A ( C |` D ) B <-> <. A , B >. e. ( C |` D ) )
4		df-br 4019	. . 3 |- ( A C B <-> <. A , B >. e. C )
5	4	anbi1i 458	. 2 |- ( ( A C B /\ A e. D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
6	2, 3, 5	3bitr4i 212	1 |- ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610   class class class wbr 4018   |` cres 4646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-res 4656

This theorem is referenced by:  dfres2  4977  dfima2  4990  poirr2  5039  cores  5150  resco  5151  rnco  5153  fnres  5351  fvres  5558  nfunsn  5569  1stconst  6246  2ndconst  6247