Theorem brres 4707

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brres	|- ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) )

Proof of Theorem brres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelres.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	opelres 4706	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
3		df-br 3838	. 2 |- ( A ( C |` D ) B <-> <. A , B >. e. ( C |` D ) )
4		df-br 3838	. . 3 |- ( A C B <-> <. A , B >. e. C )
5	4	anbi1i 446	. 2 |- ( ( A C B /\ A e. D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
6	2, 3, 5	3bitr4i 210	1 |- ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3444   class class class wbr 3837   |` cres 4430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-res 4440

This theorem is referenced by:  dfres2  4751  dfima2  4763  poirr2  4811  cores  4921  resco  4922  rnco  4924  fnres  5116  fvres  5313  nfunsn  5322  1stconst  5968  2ndconst  5969