Theorem opelres 4896

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opelres	|- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4623	. . 3 |- ( C |` D ) = ( C i^i ( D X. _V ) )
2	1	eleq2i 2237	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) )
3		elin 3310	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) )
4		opelres.1	. . . 4 |- B e. _V
5		opelxp 4641	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> ( A e. D /\ B e. _V ) )
6	4, 5	mpbiran2 936	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> A e. D )
7	6	anbi2i 454	. 2 |- ( ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
8	2, 3, 7	3bitri 205	1 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   <.cop 3586   X. cxp 4609   |` cres 4613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-res 4623

This theorem is referenced by:  brres  4897  opelresg  4898  opres  4900  dmres  4912  elres  4927  relssres  4929  resiexg  4936  iss  4937  asymref  4996  ssrnres  5053  cnvresima  5100  ressn  5151  funssres  5240  fcnvres  5381