Theorem opelres 4947

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opelres	|- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4671	. . 3 |- ( C |` D ) = ( C i^i ( D X. _V ) )
2	1	eleq2i 2260	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) )
3		elin 3342	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) )
4		opelres.1	. . . 4 |- B e. _V
5		opelxp 4689	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> ( A e. D /\ B e. _V ) )
6	4, 5	mpbiran2 943	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> A e. D )
7	6	anbi2i 457	. 2 |- ( ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
8	2, 3, 7	3bitri 206	1 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   i^i cin 3152   <.cop 3621   X. cxp 4657   |` cres 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665  df-res 4671

This theorem is referenced by:  brres  4948  opelresg  4949  opres  4951  dmres  4963  elres  4978  relssres  4980  resiexg  4987  iss  4988  restidsing  4998  asymref  5051  ssrnres  5108  cnvresima  5155  ressn  5206  funssres  5296  fcnvres  5437