Theorem opelres 5043

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opelres	|- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4761	. . 3 |- ( C |` D ) = ( C i^i ( D X. _V ) )
2	1	eleq2i 2299	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) )
3		elin 3402	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) )
4		opelres.1	. . . 4 |- B e. _V
5		opelxp 4779	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> ( A e. D /\ B e. _V ) )
6	4, 5	mpbiran2 950	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> A e. D )
7	6	anbi2i 457	. 2 |- ( ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
8	2, 3, 7	3bitri 206	1 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   i^i cin 3210   <.cop 3692   X. cxp 4747   |` cres 4751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-opab 4172  df-xp 4755  df-res 4761

This theorem is referenced by:  brres  5044  opelresg  5045  opres  5047  dmres  5059  elres  5074  relssres  5076  resiexg  5083  iss  5084  restidsing  5094  asymref  5148  ssrnres  5205  cnvresima  5252  ressn  5303  funssres  5395  fcnvres  5550