Theorem opelres 5010

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opelres	|- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4731	. . 3 |- ( C |` D ) = ( C i^i ( D X. _V ) )
2	1	eleq2i 2296	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) )
3		elin 3387	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C i^i ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) )
4		opelres.1	. . . 4 |- B e. _V
5		opelxp 4749	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> ( A e. D /\ B e. _V ) )
6	4, 5	mpbiran2 947	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( D X. _V ) <-> A e. D )
7	6	anbi2i 457	. 2 |- ( ( <. A , B >. e. C /\ <. A , B >. e. ( D X. _V ) ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
8	2, 3, 7	3bitri 206	1 |- ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   <.cop 3669   X. cxp 4717   |` cres 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-opab 4146  df-xp 4725  df-res 4731

This theorem is referenced by:  brres  5011  opelresg  5012  opres  5014  dmres  5026  elres  5041  relssres  5043  resiexg  5050  iss  5051  restidsing  5061  asymref  5114  ssrnres  5171  cnvresima  5218  ressn  5269  funssres  5360  fcnvres  5509