Theorem opelresi 4880

Description: <. A , A >. belongs to a restriction of the identity class iff A belongs to the restricting class. (Contributed by FL, 27-Oct-2008.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)

Assertion

Ref	Expression
opelresi	|- ( A e. V -> ( <. A , A >. e. ( _I |` B ) <-> A e. B ) )

Proof of Theorem opelresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresg 4876	. 2 |- ( A e. V -> ( <. A , A >. e. ( _I |` B ) <-> ( <. A , A >. e. _I /\ A e. B ) ) )
2		ididg 4742	. . . 4 |- ( A e. V -> A _I A )
3		df-br 3968	. . . 4 |- ( A _I A <-> <. A , A >. e. _I )
4	2, 3	sylib 121	. . 3 |- ( A e. V -> <. A , A >. e. _I )
5	4	biantrurd 303	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. B <-> ( <. A , A >. e. _I /\ A e. B ) ) )
6	1, 5	bitr4d 190	1 |- ( A e. V -> ( <. A , A >. e. ( _I |` B ) <-> A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   <.cop 3564   class class class wbr 3967   _I cid 4251   |` cres 4591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-res 4601

This theorem is referenced by:  issref  4971