Theorem opelresi 4920

Description: <. A , A >. belongs to a restriction of the identity class iff A belongs to the restricting class. (Contributed by FL, 27-Oct-2008.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)

Assertion

Ref	Expression
opelresi	|- ( A e. V -> ( <. A , A >. e. ( _I |` B ) <-> A e. B ) )

Proof of Theorem opelresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresg 4916	. 2 |- ( A e. V -> ( <. A , A >. e. ( _I |` B ) <-> ( <. A , A >. e. _I /\ A e. B ) ) )
2		ididg 4782	. . . 4 |- ( A e. V -> A _I A )
3		df-br 4006	. . . 4 |- ( A _I A <-> <. A , A >. e. _I )
4	2, 3	sylib 122	. . 3 |- ( A e. V -> <. A , A >. e. _I )
5	4	biantrurd 305	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. B <-> ( <. A , A >. e. _I /\ A e. B ) ) )
6	1, 5	bitr4d 191	1 |- ( A e. V -> ( <. A , A >. e. ( _I |` B ) <-> A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   <.cop 3597   class class class wbr 4005   _I cid 4290   |` cres 4630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-res 4640

This theorem is referenced by:  issref  5013