Theorem psmetrel 14990

Description: The class of pseudometrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
psmetrel	|- Rel PsMet

Proof of Theorem psmetrel

Dummy variables w d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4849	. 2 |- Rel ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
2		df-psmet 14501	. . 3 |- PsMet = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
3	2	releqi 4801	. 2 |- ( Rel PsMet <-> Rel ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Rel PsMet

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   X. cxp 4716   Rel wrel 4723  (class class class)co 6000   ^m cmap 6793   0cc0 7995   RR*cxr 8176   <_ cle 8178   +ecxad 9962  PsMetcpsmet 14493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-xp 4724  df-rel 4725  df-psmet 14501

This theorem is referenced by:  blfvalps  15053  blvalps  15056  blfps  15077