ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetrel Unicode version

Theorem psmetrel 12528
Description: The class of pseudometrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
psmetrel  |-  Rel PsMet

Proof of Theorem psmetrel
Dummy variables  w  d  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptrel 4674 . 2  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  |  A. y  e.  x  (
( y d y )  =  0  /\ 
A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( (
w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
2 df-psmet 12193 . . 3  |- PsMet  =  ( x  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  |  A. y  e.  x  (
( y d y )  =  0  /\ 
A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( (
w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
32releqi 4629 . 2  |-  ( Rel PsMet  <->  Rel  ( x  e.  _V  |->  { d  e.  (
RR*  ^m  ( x  X.  x ) )  | 
A. y  e.  x  ( ( y d y )  =  0  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  (
( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } ) )
41, 3mpbir 145 1  |-  Rel PsMet
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1332   A.wral 2417   {crab 2421   _Vcvv 2689   class class class wbr 3936    |-> cmpt 3996    X. cxp 4544   Rel wrel 4551  (class class class)co 5781    ^m cmap 6549   0cc0 7643   RR*cxr 7822    <_ cle 7824   +ecxad 9586  PsMetcpsmet 12185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-xp 4552  df-rel 4553  df-psmet 12193
This theorem is referenced by:  blfvalps  12591  blvalps  12594  blfps  12615
  Copyright terms: Public domain W3C validator