Theorem psmetrel 15187

Description: The class of pseudometrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
psmetrel	|- Rel PsMet

Proof of Theorem psmetrel

Dummy variables w d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4883	. 2 |- Rel ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
2		df-psmet 14691	. . 3 |- PsMet = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
3	2	releqi 4833	. 2 |- ( Rel PsMet <-> Rel ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Rel PsMet

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   A.wral 2520   {crab 2524   _Vcvv 2813   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   X. cxp 4747   Rel wrel 4754  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   0cc0 8127   RR*cxr 8307   <_ cle 8309   +ecxad 10103  PsMetcpsmet 14683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-xp 4755  df-rel 4756  df-psmet 14691

This theorem is referenced by:  blfvalps  15250  blvalps  15253  blfps  15274