Theorem psmetrel 15346

Description: The class of pseudometrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
psmetrel	|- Rel PsMet

Proof of Theorem psmetrel

Dummy variables w d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4903	. 2 |- Rel ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
2		df-psmet 14852	. . 3 |- PsMet = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
3	2	releqi 4853	. 2 |- ( Rel PsMet <-> Rel ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Rel PsMet

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   X. cxp 4767   Rel wrel 4774  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912   0cc0 8169   RR*cxr 8349   <_ cle 8351   +ecxad 10151  PsMetcpsmet 14844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-xp 4775  df-rel 4776  df-psmet 14852

This theorem is referenced by:  blfvalps  15409  blvalps  15412  blfps  15433