Theorem txswaphmeo 12961

Description: There is a homeomorphism from X X. Y to Y X. X. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeo	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2		simpr 109	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
3	1, 2	cnmpt2nd 12929	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
4	1, 2	cnmpt1st 12928	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
5	1, 2, 3, 4	cnmpt2t 12933	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) )
6		opelxpi 4636	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
7	6	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
8	7	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
9	8	ralrimivva 2548	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
10		eqid 2165	. . . . . . 7 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. )
11	10	fmpo 6169	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) <-> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
12	9, 11	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
13		opelxpi 4636	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
14	13	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ x e. X ) ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
16	15	ralrimivva 2548	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
17		eqid 2165	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
18	17	fmpo 6169	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) <-> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
19	16, 18	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
20		txswaphmeolem 12960	. . . . . 6 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) )
21		txswaphmeolem 12960	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )
22		fcof1o 5757	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) /\ ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) ) /\ ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) ) ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
23	20, 21, 22	mpanr12 436	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
24	12, 19, 23	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
25	24	simprd 113	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) )
26	2, 1	cnmpt2nd 12929	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> x ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
27	2, 1	cnmpt1st 12928	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> y ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
28	2, 1, 26, 27	cnmpt2t 12933	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
29	25, 28	eqeltrd 2243	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
30		ishmeo 12944	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) ) )
31	5, 29, 30	sylanbrc 414	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   <.cop 3579   _I cid 4266   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   |` cres 4606   o. ccom 4608   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825   tX ctx 12892   Homeochmeo 12940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-topgen 12577  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cn 12828  df-tx 12893  df-hmeo 12941

This theorem is referenced by: (None)