Theorem txswaphmeo 14557

Description: There is a homeomorphism from X X. Y to Y X. X. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeo	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
3	1, 2	cnmpt2nd 14525	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
4	1, 2	cnmpt1st 14524	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
5	1, 2, 3, 4	cnmpt2t 14529	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) )
6		opelxpi 4695	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
7	6	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
9	8	ralrimivva 2579	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
10		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. )
11	10	fmpo 6259	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) <-> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
12	9, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
13		opelxpi 4695	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
14	13	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ x e. X ) ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
16	15	ralrimivva 2579	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
17		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
18	17	fmpo 6259	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) <-> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
19	16, 18	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
20		txswaphmeolem 14556	. . . . . 6 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) )
21		txswaphmeolem 14556	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )
22		fcof1o 5836	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) /\ ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) ) /\ ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) ) ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
23	20, 21, 22	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
24	12, 19, 23	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
25	24	simprd 114	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) )
26	2, 1	cnmpt2nd 14525	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> x ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
27	2, 1	cnmpt1st 14524	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> y ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
28	2, 1, 26, 27	cnmpt2t 14529	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
29	25, 28	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
30		ishmeo 14540	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) ) )
31	5, 29, 30	sylanbrc 417	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   <.cop 3625   _I cid 4323   X. cxp 4661   `'ccnv 4662   |` cres 4665   o. ccom 4667   -->wf 5254   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421   tX ctx 14488   Homeochmeo 14536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-topgen 12931  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cn 14424  df-tx 14489  df-hmeo 14537

This theorem is referenced by: (None)