Theorem txswaphmeo 15203

Description: There is a homeomorphism from X X. Y to Y X. X. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeo	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
3	1, 2	cnmpt2nd 15171	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
4	1, 2	cnmpt1st 15170	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
5	1, 2, 3, 4	cnmpt2t 15175	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) )
6		opelxpi 4783	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
7	6	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
9	8	ralrimivva 2626	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
10		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. )
11	10	fmpo 6399	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) <-> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
12	9, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
13		opelxpi 4783	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
14	13	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ x e. X ) ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
16	15	ralrimivva 2626	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
17		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
18	17	fmpo 6399	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) <-> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
19	16, 18	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
20		txswaphmeolem 15202	. . . . . 6 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) )
21		txswaphmeolem 15202	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )
22		fcof1o 5964	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) /\ ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) ) /\ ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) ) ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
23	20, 21, 22	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
24	12, 19, 23	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
25	24	simprd 114	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) )
26	2, 1	cnmpt2nd 15171	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> x ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
27	2, 1	cnmpt1st 15170	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> y ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
28	2, 1, 26, 27	cnmpt2t 15175	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
29	25, 28	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
30		ishmeo 15186	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) ) )
31	5, 29, 30	sylanbrc 417	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   <.cop 3694   _I cid 4411   X. cxp 4749   `'ccnv 4750   |` cres 4753   o. ccom 4755   -->wf 5350   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   e. cmpo 6054  TopOnctopon 14892   Cn ccn 15067   tX ctx 15134   Homeochmeo 15182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-topgen 13490  df-top 14880  df-topon 14893  df-bases 14925  df-cn 15070  df-tx 15135  df-hmeo 15183

This theorem is referenced by: (None)