Theorem txswaphmeo 13692

Description: There is a homeomorphism from X X. Y to Y X. X. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeo	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
3	1, 2	cnmpt2nd 13660	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
4	1, 2	cnmpt1st 13659	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
5	1, 2, 3, 4	cnmpt2t 13664	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) )
6		opelxpi 4657	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
7	6	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
9	8	ralrimivva 2559	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
10		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. )
11	10	fmpo 6199	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) <-> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
12	9, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
13		opelxpi 4657	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
14	13	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ x e. X ) ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
16	15	ralrimivva 2559	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
17		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
18	17	fmpo 6199	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) <-> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
19	16, 18	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
20		txswaphmeolem 13691	. . . . . 6 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) )
21		txswaphmeolem 13691	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )
22		fcof1o 5787	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) /\ ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) ) /\ ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) ) ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
23	20, 21, 22	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
24	12, 19, 23	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
25	24	simprd 114	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) )
26	2, 1	cnmpt2nd 13660	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> x ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
27	2, 1	cnmpt1st 13659	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> y ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
28	2, 1, 26, 27	cnmpt2t 13664	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
29	25, 28	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
30		ishmeo 13675	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) ) )
31	5, 29, 30	sylanbrc 417	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   <.cop 3595   _I cid 4287   X. cxp 4623   `'ccnv 4624   |` cres 4627   o. ccom 4629   -->wf 5211   -1-1-onto->wf1o 5214   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   e. cmpo 5874  TopOnctopon 13379   Cn ccn 13556   tX ctx 13623   Homeochmeo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6647  df-topgen 12697  df-top 13367  df-topon 13380  df-bases 13412  df-cn 13559  df-tx 13624  df-hmeo 13672

This theorem is referenced by: (None)