Theorem txswaphmeo 15047

Description: There is a homeomorphism from X X. Y to Y X. X. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeo	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
3	1, 2	cnmpt2nd 15015	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> y ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
4	1, 2	cnmpt1st 15014	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> x ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
5	1, 2, 3, 4	cnmpt2t 15019	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) )
6		opelxpi 4757	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
7	6	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
9	8	ralrimivva 2614	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
10		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. )
11	10	fmpo 6366	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. y e. Y <. y , x >. e. ( Y X. X ) <-> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
12	9, 11	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) )
13		opelxpi 4757	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
14	13	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( y e. Y /\ x e. X ) ) -> <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
16	15	ralrimivva 2614	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) )
17		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
18	17	fmpo 6366	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X <. x , y >. e. ( X X. Y ) <-> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
19	16, 18	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) )
20		txswaphmeolem 15046	. . . . . 6 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) )
21		txswaphmeolem 15046	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )
22		fcof1o 5930	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) /\ ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) o. ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) = ( _I |` ( Y X. X ) ) /\ ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) ) ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
23	20, 21, 22	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) --> ( Y X. X ) /\ ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) : ( Y X. X ) --> ( X X. Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
24	12, 19, 23	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> ( Y X. X ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) ) )
25	24	simprd 114	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) )
26	2, 1	cnmpt2nd 15015	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> x ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
27	2, 1	cnmpt1st 15014	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> y ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
28	2, 1, 26, 27	cnmpt2t 15019	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
29	25, 28	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) )
30		ishmeo 15030	. 2 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) <-> ( ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( K tX J ) ) /\ `' ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( K tX J ) Cn ( J tX K ) ) ) )
31	5, 29, 30	sylanbrc 417	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( K tX J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   <.cop 3672   _I cid 4385   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   |` cres 4727   o. ccom 4729   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   e. cmpo 6020  TopOnctopon 14736   Cn ccn 14911   tX ctx 14978   Homeochmeo 15026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-topgen 13344  df-top 14724  df-topon 14737  df-bases 14769  df-cn 14914  df-tx 14979  df-hmeo 15027

This theorem is referenced by: (None)