Theorem blfps 12578

Description: Mapping of a ball. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blfps	|- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )

Proof of Theorem blfps

Dummy variables x r y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3182	. . . . . 6 |- { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X
2		psmetrel 12491	. . . . . . . 8 |- Rel PsMet
3		relelfvdm 5453	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel PsMet /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> X e. dom PsMet )
4	2, 3	mpan 420	. . . . . . 7 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. dom PsMet )
5		elpw2g 4081	. . . . . . 7 |- ( X e. dom PsMet -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) )
7	1, 6	mpbiri 167	. . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( ( x e. X /\ r e. RR* ) -> { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X ) )
9	8	ralrimivv 2513	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X )
10		eqid 2139	. . . 4 |- ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } )
11	10	fmpo 6099	. . 3 |- ( A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
12	9, 11	sylib 121	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
13		blfvalps 12554	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( ball ` D ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) )
14	13	feq1d 5259	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X <-> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X ) )
15	12, 14	mpbird 166	1 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   RR*cxr 7799   < clt 7800  PsMetcpsmet 12148   ballcbl 12151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-psmet 12156  df-bl 12159

This theorem is referenced by:  blrnps  12580  blelrnps  12588  unirnblps  12591