Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ispsmet Unicode version

Theorem ispsmet 12529
 Description: Express the predicate " is a pseudometric." (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
ispsmet PsMet
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem ispsmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 12193 . . . . 5 PsMet
2 id 19 . . . . . . . 8
32sqxpeqd 4572 . . . . . . 7
43oveq2d 5797 . . . . . 6
5 raleq 2629 . . . . . . . . 9
65raleqbi1dv 2637 . . . . . . . 8
76anbi2d 460 . . . . . . 7
87raleqbi1dv 2637 . . . . . 6
94, 8rabeqbidv 2684 . . . . 5
10 elex 2700 . . . . 5
11 xrex 9668 . . . . . . . 8
12 sqxpexg 4662 . . . . . . . 8
13 mapvalg 6559 . . . . . . . 8
1411, 12, 13sylancr 411 . . . . . . 7
15 mapex 6555 . . . . . . . 8
1612, 11, 15sylancl 410 . . . . . . 7
1714, 16eqeltrd 2217 . . . . . 6
18 rabexg 4078 . . . . . 6
1917, 18syl 14 . . . . 5
201, 9, 10, 19fvmptd3 5521 . . . 4 PsMet
2120eleq2d 2210 . . 3 PsMet
22 oveq 5787 . . . . . . 7
2322eqeq1d 2149 . . . . . 6
24 oveq 5787 . . . . . . . 8
25 oveq 5787 . . . . . . . . 9
26 oveq 5787 . . . . . . . . 9
2725, 26oveq12d 5799 . . . . . . . 8
2824, 27breq12d 3949 . . . . . . 7
29282ralbidv 2462 . . . . . 6
3023, 29anbi12d 465 . . . . 5
3130ralbidv 2438 . . . 4
3231elrab 2843 . . 3
3321, 32syl6bb 195 . 2 PsMet
34 elmapg 6562 . . . 4
3511, 12, 34sylancr 411 . . 3
3635anbi1d 461 . 2
3733, 36bitrd 187 1 PsMet
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  cab 2126  wral 2417  crab 2421  cvv 2689   class class class wbr 3936   cxp 4544  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781   cmap 6549  cc0 7643  cxr 7822   cle 7824  cxad 9586  PsMetcpsmet 12185 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-psmet 12193 This theorem is referenced by:  psmetdmdm  12530  psmetf  12531  psmet0  12533  psmettri2  12534  psmetres2  12539  xmetpsmet  12575
 Copyright terms: Public domain W3C validator