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Theorem ispsmet 14502
Description: Express the predicate " D is a pseudometric". (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
ispsmet |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, X   x, D, y, z
Allowed substitution hints:   V( x, y, z)
Proof of Theorem ispsmet
Dummy variables u d f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 14042 . . . . 5 |- PsMet = ( u e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2 id 19 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> u = X )
32sqxpeqd 4686 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( u X. u ) = ( X X. X ) )
43oveq2d 5935 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( RR* ^m ( u X. u ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
5 raleq 2690 . . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65raleqbi1dv 2702 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
76anbi2d 464 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2702 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2755 . . . . 5 |- ( u = X -> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
10 elex 2771 . . . . 5 |- ( X e. V -> X e. _V )
11 xrex 9925 . . . . . . . 8 |- RR* e. _V
12 sqxpexg 4776 . . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X X. X ) e. _V )
13 mapvalg 6714 . . . . . . . 8 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
1411, 12, 13sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
15 mapex 6710 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X X. X ) e. _V /\ RR* e. _V ) -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1612, 11, 15sylancl 413 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1714, 16eqeltrd 2270 . . . . . 6 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V )
18 rabexg 4173 . . . . . 6 |- ( ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
1917, 18syl 14 . . . . 5 |- ( X e. V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
201, 9, 10, 19fvmptd3 5652 . . . 4 |- ( X e. V -> (PsMet ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2263 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 5925 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( x d x ) = ( x D x ) )
2322eqeq1d 2202 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( x d x ) = 0 <-> ( x D x ) = 0 ) )
24 oveq 5925 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
25 oveq 5925 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 5925 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 5937 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2824, 27breq12d 4043 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
29282ralbidv 2518 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
3023, 29anbi12d 473 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3130ralbidv 2494 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2917 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 196 . 2 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
34 elmapg 6717 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3511, 12, 34sylancr 414 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3635anbi1d 465 . 2 |- ( X e. V -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3733, 36bitrd 188 1 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   {crab 2476   _Vcvv 2760   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704   0cc0 7874   RR*cxr 8055   <_ cle 8057   +ecxad 9839  PsMetcpsmet 14034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-psmet 14042
This theorem is referenced by:  psmetdmdm  14503  psmetf  14504  psmet0  14506  psmettri2  14507  psmetres2  14512  xmetpsmet  14548
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