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Theorem ispsmet 15424
Description: Express the predicate " D is a pseudometric". (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
ispsmet |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, X   x, D, y, z
Allowed substitution hints:   V( x, y, z)
Proof of Theorem ispsmet
Dummy variables u d f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 14880 . . . . 5 |- PsMet = ( u e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2 id 19 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> u = X )
32sqxpeqd 4800 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( u X. u ) = ( X X. X ) )
43oveq2d 6101 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( RR* ^m ( u X. u ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
5 raleq 2749 . . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65raleqbi1dv 2761 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
76anbi2d 468 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2761 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2816 . . . . 5 |- ( u = X -> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
10 elex 2833 . . . . 5 |- ( X e. V -> X e. _V )
11 xrex 10258 . . . . . . . 8 |- RR* e. _V
12 sqxpexg 4893 . . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X X. X ) e. _V )
13 mapvalg 6932 . . . . . . . 8 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
1411, 12, 13sylancr 418 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
15 mapex 6928 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X X. X ) e. _V /\ RR* e. _V ) -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1612, 11, 15sylancl 417 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1714, 16eqeltrd 2315 . . . . . 6 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V )
18 rabexg 4279 . . . . . 6 |- ( ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
1917, 18syl 14 . . . . 5 |- ( X e. V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
201, 9, 10, 19fvmptd3 5799 . . . 4 |- ( X e. V -> (PsMet ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2308 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 6091 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( x d x ) = ( x D x ) )
2322eqeq1d 2247 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( x d x ) = 0 <-> ( x D x ) = 0 ) )
24 oveq 6091 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
25 oveq 6091 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 6091 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 6103 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2824, 27breq12d 4143 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
29282ralbidv 2574 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
3023, 29anbi12d 477 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3130ralbidv 2550 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2982 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 196 . 2 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
34 elmapg 6935 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3511, 12, 34sylancr 418 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3635anbi1d 469 . 2 |- ( X e. V -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3733, 36bitrd 188 1 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   0cc0 8179   RR*cxr 8359   <_ cle 8361   +ecxad 10172  PsMetcpsmet 14872
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-psmet 14880
This theorem is used by:  psmetdmdm  15425  psmetf  15426  psmet0  15428  psmettri2  15429  psmetres2  15434  xmetpsmet  15470
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