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Theorem ispsmet 14737
Description: Express the predicate " D is a pseudometric". (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
ispsmet |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, X   x, D, y, z
Allowed substitution hints:   V( x, y, z)
Proof of Theorem ispsmet
Dummy variables u d f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 14247 . . . . 5 |- PsMet = ( u e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2 id 19 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> u = X )
32sqxpeqd 4700 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( u X. u ) = ( X X. X ) )
43oveq2d 5959 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( RR* ^m ( u X. u ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
5 raleq 2701 . . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65raleqbi1dv 2713 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
76anbi2d 464 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2713 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2766 . . . . 5 |- ( u = X -> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
10 elex 2782 . . . . 5 |- ( X e. V -> X e. _V )
11 xrex 9977 . . . . . . . 8 |- RR* e. _V
12 sqxpexg 4790 . . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X X. X ) e. _V )
13 mapvalg 6744 . . . . . . . 8 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
1411, 12, 13sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
15 mapex 6740 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X X. X ) e. _V /\ RR* e. _V ) -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1612, 11, 15sylancl 413 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1714, 16eqeltrd 2281 . . . . . 6 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V )
18 rabexg 4186 . . . . . 6 |- ( ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
1917, 18syl 14 . . . . 5 |- ( X e. V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
201, 9, 10, 19fvmptd3 5672 . . . 4 |- ( X e. V -> (PsMet ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2274 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 5949 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( x d x ) = ( x D x ) )
2322eqeq1d 2213 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( x d x ) = 0 <-> ( x D x ) = 0 ) )
24 oveq 5949 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
25 oveq 5949 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 5949 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 5961 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2824, 27breq12d 4056 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
29282ralbidv 2529 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
3023, 29anbi12d 473 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3130ralbidv 2505 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2928 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 196 . 2 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
34 elmapg 6747 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3511, 12, 34sylancr 414 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3635anbi1d 465 . 2 |- ( X e. V -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3733, 36bitrd 188 1 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   {cab 2190   A.wral 2483   {crab 2487   _Vcvv 2771   class class class wbr 4043   X. cxp 4672   -->wf 5266   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   ^m cmap 6734   0cc0 7924   RR*cxr 8105   <_ cle 8107   +ecxad 9891  PsMetcpsmet 14239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-map 6736  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-psmet 14247
This theorem is referenced by:  psmetdmdm  14738  psmetf  14739  psmet0  14741  psmettri2  14742  psmetres2  14747  xmetpsmet  14783
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