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Theorem ispsmet 15012
Description: Express the predicate " D is a pseudometric". (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
ispsmet |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, X   x, D, y, z
Allowed substitution hints:   V( x, y, z)
Proof of Theorem ispsmet
Dummy variables u d f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 14522 . . . . 5 |- PsMet = ( u e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2 id 19 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> u = X )
32sqxpeqd 4745 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( u X. u ) = ( X X. X ) )
43oveq2d 6023 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( RR* ^m ( u X. u ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
5 raleq 2728 . . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65raleqbi1dv 2740 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
76anbi2d 464 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2740 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2794 . . . . 5 |- ( u = X -> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
10 elex 2811 . . . . 5 |- ( X e. V -> X e. _V )
11 xrex 10064 . . . . . . . 8 |- RR* e. _V
12 sqxpexg 4835 . . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X X. X ) e. _V )
13 mapvalg 6813 . . . . . . . 8 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
1411, 12, 13sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
15 mapex 6809 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X X. X ) e. _V /\ RR* e. _V ) -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1612, 11, 15sylancl 413 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1714, 16eqeltrd 2306 . . . . . 6 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V )
18 rabexg 4227 . . . . . 6 |- ( ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
1917, 18syl 14 . . . . 5 |- ( X e. V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
201, 9, 10, 19fvmptd3 5730 . . . 4 |- ( X e. V -> (PsMet ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2299 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 6013 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( x d x ) = ( x D x ) )
2322eqeq1d 2238 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( x d x ) = 0 <-> ( x D x ) = 0 ) )
24 oveq 6013 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
25 oveq 6013 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 6013 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 6025 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2824, 27breq12d 4096 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
29282ralbidv 2554 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
3023, 29anbi12d 473 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3130ralbidv 2530 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2959 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 196 . 2 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
34 elmapg 6816 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3511, 12, 34sylancr 414 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3635anbi1d 465 . 2 |- ( X e. V -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3733, 36bitrd 188 1 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803   0cc0 8010   RR*cxr 8191   <_ cle 8193   +ecxad 9978  PsMetcpsmet 14514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-map 6805  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-psmet 14522
This theorem is referenced by:  psmetdmdm  15013  psmetf  15014  psmet0  15016  psmettri2  15017  psmetres2  15022  xmetpsmet  15058
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