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Theorem ispsmet 15314
Description: Express the predicate " D is a pseudometric". (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
ispsmet |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, X   x, D, y, z
Allowed substitution hints:   V( x, y, z)
Proof of Theorem ispsmet
Dummy variables u d f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 14817 . . . . 5 |- PsMet = ( u e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2 id 19 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> u = X )
32sqxpeqd 4780 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( u X. u ) = ( X X. X ) )
43oveq2d 6074 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( RR* ^m ( u X. u ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
5 raleq 2743 . . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65raleqbi1dv 2755 . . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
76anbi2d 464 . . . . . . 7 |- ( u = X -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2755 . . . . . 6 |- ( u = X -> ( A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2810 . . . . 5 |- ( u = X -> { d e. ( RR* ^m ( u X. u ) ) | A. x e. u ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. u A. z e. u ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
10 elex 2827 . . . . 5 |- ( X e. V -> X e. _V )
11 xrex 10208 . . . . . . . 8 |- RR* e. _V
12 sqxpexg 4873 . . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X X. X ) e. _V )
13 mapvalg 6905 . . . . . . . 8 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
1411, 12, 13sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) = { f | f : ( X X. X ) --> RR* } )
15 mapex 6901 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X X. X ) e. _V /\ RR* e. _V ) -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1612, 11, 15sylancl 413 . . . . . . 7 |- ( X e. V -> { f | f : ( X X. X ) --> RR* } e. _V )
1714, 16eqeltrd 2311 . . . . . 6 |- ( X e. V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V )
18 rabexg 4260 . . . . . 6 |- ( ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
1917, 18syl 14 . . . . 5 |- ( X e. V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
201, 9, 10, 19fvmptd3 5776 . . . 4 |- ( X e. V -> (PsMet ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2304 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 6064 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( x d x ) = ( x D x ) )
2322eqeq1d 2243 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( x d x ) = 0 <-> ( x D x ) = 0 ) )
24 oveq 6064 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
25 oveq 6064 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 6064 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 6076 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2824, 27breq12d 4127 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
29282ralbidv 2568 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
3023, 29anbi12d 473 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3130ralbidv 2544 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2976 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X ( ( x d x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 196 . 2 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
34 elmapg 6908 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3511, 12, 34sylancr 414 . . 3 |- ( X e. V -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3635anbi1d 465 . 2 |- ( X e. V -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3733, 36bitrd 188 1 |- ( X e. V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   0cc0 8143   RR*cxr 8323   <_ cle 8325   +ecxad 10122  PsMetcpsmet 14809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-psmet 14817
This theorem is referenced by:  psmetdmdm  15315  psmetf  15316  psmet0  15318  psmettri2  15319  psmetres2  15324  xmetpsmet  15360
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