Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blvalps Unicode version

Theorem blvalps 12727
 Description: The ball around a point is the set of all points whose distance from is less than the ball's radius . (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blvalps PsMet
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem blvalps
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blfvalps 12724 . . 3 PsMet
3 simprl 521 . . . . 5 PsMet
43oveq1d 5829 . . . 4 PsMet
5 simprr 522 . . . 4 PsMet
64, 5breq12d 3974 . . 3 PsMet
76rabbidv 2698 . 2 PsMet
8 simp2 983 . 2 PsMet
9 simp3 984 . 2 PsMet
10 psmetrel 12661 . . . . 5 PsMet
11 relelfvdm 5493 . . . . 5 PsMet PsMet PsMet
1210, 11mpan 421 . . . 4 PsMet PsMet
13123ad2ant1 1003 . . 3 PsMet PsMet
14 rabexg 4103 . . 3 PsMet
1513, 14syl 14 . 2 PsMet
162, 7, 8, 9, 15ovmpod 5938 1 PsMet
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 963   wceq 1332   wcel 2125  crab 2436  cvv 2709   class class class wbr 3961   cdm 4579   wrel 4584  cfv 5163  (class class class)co 5814   cmpo 5816  cxr 7890   clt 7891  PsMetcpsmet 12318  cbl 12321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-map 6584  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-psmet 12326  df-bl 12329 This theorem is referenced by:  elblps  12729
 Copyright terms: Public domain W3C validator