ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reliun Unicode version

Theorem reliun 4730
Description: An indexed union is a relation iff each member of its indexed family is a relation. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
reliun  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  Rel  B )

Proof of Theorem reliun
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 3873 . . 3  |-  U_ x  e.  A  B  =  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }
21releqi 4692 . 2  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  B 
<->  Rel  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }
)
3 df-rel 4616 . 2  |-  ( Rel 
{ y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  ( _V  X.  _V ) )
4 abss 3216 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  ( _V 
X.  _V )  <->  A. y
( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
5 df-rel 4616 . . . . . 6  |-  ( Rel 
B  <->  B  C_  ( _V 
X.  _V ) )
6 dfss2 3136 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
75, 6bitri 183 . . . . 5  |-  ( Rel 
B  <->  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
87ralbii 2476 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Rel  B  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
) )
9 ralcom4 2752 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
)  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
10 r19.23v 2579 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  -> 
y  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
1110albii 1463 . . . 4  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  A. y
( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
128, 9, 113bitri 205 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Rel  B  <->  A. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
) )
134, 12bitr4i 186 . 2  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  ( _V 
X.  _V )  <->  A. x  e.  A  Rel  B )
142, 3, 133bitri 205 1  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  Rel  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   A.wal 1346    e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   U_ciun 3871    X. cxp 4607   Rel wrel 4614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-iun 3873  df-rel 4616
This theorem is referenced by:  reluni  4732  eliunxp  4748  opeliunxp2  4749  dfco2  5108  coiun  5118  opeliunxp2f  6214  fisumcom2  11388  fprodcom2fi  11576  reldvg  13401
  Copyright terms: Public domain W3C validator