Theorem reliun 4784

Description: An indexed union is a relation iff each member of its indexed family is a relation. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reliun	|- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Proof of Theorem reliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3918	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	releqi 4746	. 2 |- ( Rel U_ x e. A B <-> Rel { y | E. x e. A y e. B } )
3		df-rel 4670	. 2 |- ( Rel { y | E. x e. A y e. B } <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) )
4		abss 3252	. . 3 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
5		df-rel 4670	. . . . . 6 |- ( Rel B <-> B C_ ( _V X. _V ) )
6		dfss2 3172	. . . . . 6 |- ( B C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . . 5 |- ( Rel B <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
8	7	ralbii 2503	. . . 4 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
9		ralcom4 2785	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
10		r19.23v 2606	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
11	10	albii 1484	. . . 4 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
12	8, 9, 11	3bitri 206	. . 3 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
13	4, 12	bitr4i 187	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. x e. A Rel B )
14	2, 3, 13	3bitri 206	1 |- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   U_ciun 3916   X. cxp 4661   Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-iun 3918  df-rel 4670

This theorem is referenced by:  reluni  4786  eliunxp  4805  opeliunxp2  4806  dfco2  5169  coiun  5179  opeliunxp2f  6296  fisumcom2  11603  fprodcom2fi  11791  imasaddfnlemg  12957  reldvg  14915