Theorem reliun 4814

Description: An indexed union is a relation iff each member of its indexed family is a relation. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reliun	|- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Proof of Theorem reliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3943	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	releqi 4776	. 2 |- ( Rel U_ x e. A B <-> Rel { y | E. x e. A y e. B } )
3		df-rel 4700	. 2 |- ( Rel { y | E. x e. A y e. B } <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) )
4		abss 3270	. . 3 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
5		df-rel 4700	. . . . . 6 |- ( Rel B <-> B C_ ( _V X. _V ) )
6		ssalel 3189	. . . . . 6 |- ( B C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . . 5 |- ( Rel B <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
8	7	ralbii 2514	. . . 4 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
9		ralcom4 2799	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
10		r19.23v 2617	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
11	10	albii 1494	. . . 4 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
12	8, 9, 11	3bitri 206	. . 3 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
13	4, 12	bitr4i 187	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. x e. A Rel B )
14	2, 3, 13	3bitri 206	1 |- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   U_ciun 3941   X. cxp 4691   Rel wrel 4698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-iun 3943  df-rel 4700

This theorem is referenced by:  reluni  4816  eliunxp  4835  opeliunxp2  4836  dfco2  5201  coiun  5211  opeliunxp2f  6347  fisumcom2  11864  fprodcom2fi  12052  imasaddfnlemg  13261  reldvg  15266