Theorem reliun 4588

Description: An indexed union is a relation iff each member of its indexed family is a relation. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reliun	|- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Proof of Theorem reliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3754	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	releqi 4550	. 2 |- ( Rel U_ x e. A B <-> Rel { y | E. x e. A y e. B } )
3		df-rel 4474	. 2 |- ( Rel { y | E. x e. A y e. B } <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) )
4		abss 3105	. . 3 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
5		df-rel 4474	. . . . . 6 |- ( Rel B <-> B C_ ( _V X. _V ) )
6		dfss2 3028	. . . . . 6 |- ( B C_ ( _V X. _V ) <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
7	5, 6	bitri 183	. . . . 5 |- ( Rel B <-> A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
8	7	ralbii 2395	. . . 4 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
9		ralcom4 2655	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
10		r19.23v 2494	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
11	10	albii 1411	. . . 4 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
12	8, 9, 11	3bitri 205	. . 3 |- ( A. x e. A Rel B <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. ( _V X. _V ) ) )
13	4, 12	bitr4i 186	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ ( _V X. _V ) <-> A. x e. A Rel B )
14	2, 3, 13	3bitri 205	1 |- ( Rel U_ x e. A B <-> A. x e. A Rel B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1294   e. wcel 1445   {cab 2081   A.wral 2370   E.wrex 2371   _Vcvv 2633   C_ wss 3013   U_ciun 3752   X. cxp 4465   Rel wrel 4472

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-in 3019  df-ss 3026  df-iun 3754  df-rel 4474

This theorem is referenced by:  reluni  4590  eliunxp  4606  opeliunxp2  4607  dfco2  4964  coiun  4974  opeliunxp2f  6041  fisumcom2  10981