ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reliun Unicode version

Theorem reliun 4660
Description: An indexed union is a relation iff each member of its indexed family is a relation. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
reliun  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  Rel  B )

Proof of Theorem reliun
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 3815 . . 3  |-  U_ x  e.  A  B  =  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }
21releqi 4622 . 2  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  B 
<->  Rel  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }
)
3 df-rel 4546 . 2  |-  ( Rel 
{ y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  ( _V  X.  _V ) )
4 abss 3166 . . 3  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  ( _V 
X.  _V )  <->  A. y
( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
5 df-rel 4546 . . . . . 6  |-  ( Rel 
B  <->  B  C_  ( _V 
X.  _V ) )
6 dfss2 3086 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
75, 6bitri 183 . . . . 5  |-  ( Rel 
B  <->  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
87ralbii 2441 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Rel  B  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
) )
9 ralcom4 2708 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
)  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
10 r19.23v 2541 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  -> 
y  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
1110albii 1446 . . . 4  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  A. y
( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V 
X.  _V ) ) )
128, 9, 113bitri 205 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Rel  B  <->  A. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
) )
134, 12bitr4i 186 . 2  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  ( _V 
X.  _V )  <->  A. x  e.  A  Rel  B )
142, 3, 133bitri 205 1  |-  ( Rel  U_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  Rel  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   A.wal 1329    e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   U_ciun 3813    X. cxp 4537   Rel wrel 4544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-iun 3815  df-rel 4546
This theorem is referenced by:  reluni  4662  eliunxp  4678  opeliunxp2  4679  dfco2  5038  coiun  5048  opeliunxp2f  6135  fisumcom2  11214  reldvg  12826
  Copyright terms: Public domain W3C validator