Theorem uni0b 3860

Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
uni0b	|- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Proof of Theorem uni0b

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3465	. . . 4 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
2	1	ralbii 2500	. . 3 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. x e. A A. y -. y e. x )
3		ralcom4 2782	. . 3 |- ( A. x e. A A. y -. y e. x <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
5		dfss3 3169	. . 3 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x e. { (/) } )
6		velsn 3635	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
7	6	ralbii 2500	. . 3 |- ( A. x e. A x e. { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
8	5, 7	bitri 184	. 2 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
9		eluni2 3839	. . . . 5 |- ( y e. U. A <-> E. x e. A y e. x )
10	9	notbii 669	. . . 4 |- ( -. y e. U. A <-> -. E. x e. A y e. x )
11	10	albii 1481	. . 3 |- ( A. y -. y e. U. A <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
12		eq0 3465	. . 3 |- ( U. A = (/) <-> A. y -. y e. U. A )
13		ralnex 2482	. . . 4 |- ( A. x e. A -. y e. x <-> -. E. x e. A y e. x )
14	13	albii 1481	. . 3 |- ( A. y A. x e. A -. y e. x <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
15	11, 12, 14	3bitr4i 212	. 2 |- ( U. A = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
16	4, 8, 15	3bitr4ri 213	1 |- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   U.cuni 3835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-sn 3624  df-uni 3836

This theorem is referenced by:  uni0c  3861  uni0  3862