Theorem uni0b 3938

Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
uni0b	|- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Proof of Theorem uni0b

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3526	. . . 4 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
2	1	ralbii 2548	. . 3 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. x e. A A. y -. y e. x )
3		ralcom4 2835	. . 3 |- ( A. x e. A A. y -. y e. x <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
5		dfss3 3226	. . 3 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x e. { (/) } )
6		velsn 3705	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
7	6	ralbii 2548	. . 3 |- ( A. x e. A x e. { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
8	5, 7	bitri 184	. 2 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
9		eluni2 3917	. . . . 5 |- ( y e. U. A <-> E. x e. A y e. x )
10	9	notbii 674	. . . 4 |- ( -. y e. U. A <-> -. E. x e. A y e. x )
11	10	albii 1519	. . 3 |- ( A. y -. y e. U. A <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
12		eq0 3526	. . 3 |- ( U. A = (/) <-> A. y -. y e. U. A )
13		ralnex 2530	. . . 4 |- ( A. x e. A -. y e. x <-> -. E. x e. A y e. x )
14	13	albii 1519	. . 3 |- ( A. y A. x e. A -. y e. x <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
15	11, 12, 14	3bitr4i 212	. 2 |- ( U. A = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
16	4, 8, 15	3bitr4ri 213	1 |- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   C_ wss 3210   (/)c0 3507   {csn 3688   U.cuni 3913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-sn 3694  df-uni 3914

This theorem is referenced by:  uni0c  3939  uni0  3940