Theorem uni0b 3769

Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
uni0b	|- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Proof of Theorem uni0b

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3386	. . . 4 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
2	1	ralbii 2444	. . 3 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. x e. A A. y -. y e. x )
3		ralcom4 2711	. . 3 |- ( A. x e. A A. y -. y e. x <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
4	2, 3	bitri 183	. 2 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
5		dfss3 3092	. . 3 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x e. { (/) } )
6		velsn 3549	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
7	6	ralbii 2444	. . 3 |- ( A. x e. A x e. { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
8	5, 7	bitri 183	. 2 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
9		eluni2 3748	. . . . 5 |- ( y e. U. A <-> E. x e. A y e. x )
10	9	notbii 658	. . . 4 |- ( -. y e. U. A <-> -. E. x e. A y e. x )
11	10	albii 1447	. . 3 |- ( A. y -. y e. U. A <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
12		eq0 3386	. . 3 |- ( U. A = (/) <-> A. y -. y e. U. A )
13		ralnex 2427	. . . 4 |- ( A. x e. A -. y e. x <-> -. E. x e. A y e. x )
14	13	albii 1447	. . 3 |- ( A. y A. x e. A -. y e. x <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
15	11, 12, 14	3bitr4i 211	. 2 |- ( U. A = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
16	4, 8, 15	3bitr4ri 212	1 |- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   U.cuni 3744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-sn 3538  df-uni 3745

This theorem is referenced by:  uni0c  3770  uni0  3771