Theorem uni0b 3918

Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
uni0b	|- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Proof of Theorem uni0b

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3513	. . . 4 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
2	1	ralbii 2538	. . 3 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. x e. A A. y -. y e. x )
3		ralcom4 2825	. . 3 |- ( A. x e. A A. y -. y e. x <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
5		dfss3 3216	. . 3 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x e. { (/) } )
6		velsn 3686	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
7	6	ralbii 2538	. . 3 |- ( A. x e. A x e. { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
8	5, 7	bitri 184	. 2 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
9		eluni2 3897	. . . . 5 |- ( y e. U. A <-> E. x e. A y e. x )
10	9	notbii 674	. . . 4 |- ( -. y e. U. A <-> -. E. x e. A y e. x )
11	10	albii 1518	. . 3 |- ( A. y -. y e. U. A <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
12		eq0 3513	. . 3 |- ( U. A = (/) <-> A. y -. y e. U. A )
13		ralnex 2520	. . . 4 |- ( A. x e. A -. y e. x <-> -. E. x e. A y e. x )
14	13	albii 1518	. . 3 |- ( A. y A. x e. A -. y e. x <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
15	11, 12, 14	3bitr4i 212	. 2 |- ( U. A = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
16	4, 8, 15	3bitr4ri 213	1 |- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   U.cuni 3893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-sn 3675  df-uni 3894

This theorem is referenced by:  uni0c  3919  uni0  3920