ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uni0b Unicode version

Theorem uni0b 3821
Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
uni0b  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )

Proof of Theorem uni0b
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3433 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  x )
21ralbii 2476 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  =  (/)  <->  A. x  e.  A  A. y  -.  y  e.  x )
3 ralcom4 2752 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x )
42, 3bitri 183 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =  (/)  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x )
5 dfss3 3137 . . 3  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  e.  {
(/) } )
6 velsn 3600 . . . 4  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
76ralbii 2476 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  =  (/) )
85, 7bitri 183 . 2  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  =  (/) )
9 eluni2 3800 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  x )
109notbii 663 . . . 4  |-  ( -.  y  e.  U. A  <->  -. 
E. x  e.  A  y  e.  x )
1110albii 1463 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  U. A 
<-> 
A. y  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
12 eq0 3433 . . 3  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  U. A
)
13 ralnex 2458 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  y  e.  x  <->  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
1413albii 1463 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x  <->  A. y  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
1511, 12, 143bitr4i 211 . 2  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x
)
164, 8, 153bitr4ri 212 1  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 104   A.wal 1346    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   U.cuni 3796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3589  df-uni 3797
This theorem is referenced by:  uni0c  3822  uni0  3823
  Copyright terms: Public domain W3C validator