ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uni0b Unicode version

Theorem uni0b 3834
Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
uni0b  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )

Proof of Theorem uni0b
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3441 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  x )
21ralbii 2483 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  =  (/)  <->  A. x  e.  A  A. y  -.  y  e.  x )
3 ralcom4 2759 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x )
42, 3bitri 184 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =  (/)  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x )
5 dfss3 3145 . . 3  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  e.  {
(/) } )
6 velsn 3609 . . . 4  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
76ralbii 2483 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  =  (/) )
85, 7bitri 184 . 2  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  =  (/) )
9 eluni2 3813 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  x )
109notbii 668 . . . 4  |-  ( -.  y  e.  U. A  <->  -. 
E. x  e.  A  y  e.  x )
1110albii 1470 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  U. A 
<-> 
A. y  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
12 eq0 3441 . . 3  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  U. A
)
13 ralnex 2465 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  y  e.  x  <->  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
1413albii 1470 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x  <->  A. y  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
1511, 12, 143bitr4i 212 . 2  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x
)
164, 8, 153bitr4ri 213 1  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   U.cuni 3809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-sn 3598  df-uni 3810
This theorem is referenced by:  uni0c  3835  uni0  3836
  Copyright terms: Public domain W3C validator