ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uni0b Unicode version

Theorem uni0b 3663
Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
uni0b  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )

Proof of Theorem uni0b
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3290 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  x )
21ralbii 2380 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  =  (/)  <->  A. x  e.  A  A. y  -.  y  e.  x )
3 ralcom4 2635 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x )
42, 3bitri 182 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =  (/)  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x )
5 dfss3 3004 . . 3  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  e.  {
(/) } )
6 velsn 3448 . . . 4  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
76ralbii 2380 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  =  (/) )
85, 7bitri 182 . 2  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  =  (/) )
9 eluni2 3642 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  x )
109notbii 627 . . . 4  |-  ( -.  y  e.  U. A  <->  -. 
E. x  e.  A  y  e.  x )
1110albii 1402 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  U. A 
<-> 
A. y  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
12 eq0 3290 . . 3  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  U. A
)
13 ralnex 2365 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  y  e.  x  <->  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
1413albii 1402 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x  <->  A. y  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
1511, 12, 143bitr4i 210 . 2  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x
)
164, 8, 153bitr4ri 211 1  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 103   A.wal 1285    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356    C_ wss 2988   (/)c0 3275   {csn 3431   U.cuni 3638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-sn 3437  df-uni 3639
This theorem is referenced by:  uni0c  3664  uni0  3665
  Copyright terms: Public domain W3C validator