ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uni0b Unicode version

Theorem uni0b 3798
Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
uni0b  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )

Proof of Theorem uni0b
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3412 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  x )
21ralbii 2463 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  =  (/)  <->  A. x  e.  A  A. y  -.  y  e.  x )
3 ralcom4 2734 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x )
42, 3bitri 183 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =  (/)  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x )
5 dfss3 3118 . . 3  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  e.  {
(/) } )
6 velsn 3577 . . . 4  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
76ralbii 2463 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  =  (/) )
85, 7bitri 183 . 2  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  A. x  e.  A  x  =  (/) )
9 eluni2 3777 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  x )
109notbii 658 . . . 4  |-  ( -.  y  e.  U. A  <->  -. 
E. x  e.  A  y  e.  x )
1110albii 1450 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  U. A 
<-> 
A. y  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
12 eq0 3412 . . 3  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  U. A
)
13 ralnex 2445 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  y  e.  x  <->  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
1413albii 1450 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x  <->  A. y  -.  E. x  e.  A  y  e.  x )
1511, 12, 143bitr4i 211 . 2  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A. y A. x  e.  A  -.  y  e.  x
)
164, 8, 153bitr4ri 212 1  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 104   A.wal 1333    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436    C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   U.cuni 3773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-sn 3566  df-uni 3774
This theorem is referenced by:  uni0c  3799  uni0  3800
  Copyright terms: Public domain W3C validator