Theorem ralrnmpo 6083

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
ralrnmpo.2	|- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralrnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. z e. ran F ph <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   ps, z   x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y)   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem ralrnmpo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	rnmpo 6079	. . . 4 |- ran F = { w | E. x e. A E. y e. B w = C }
3	2	raleqi 2709	. . 3 |- ( A. z e. ran F ph <-> A. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph )
4		eqeq1 2214	. . . . 5 |- ( w = z -> ( w = C <-> z = C ) )
5	4	2rexbidv 2533	. . . 4 |- ( w = z -> ( E. x e. A E. y e. B w = C <-> E. x e. A E. y e. B z = C ) )
6	5	ralab 2940	. . 3 |- ( A. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph <-> A. z ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) )
7		ralcom4 2799	. . . 4 |- ( A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. z A. x e. A ( E. y e. B z = C -> ph ) )
8		r19.23v 2617	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) )
9	8	albii 1494	. . . 4 |- ( A. z A. x e. A ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. z ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) )
10	7, 9	bitr2i 185	. . 3 |- ( A. z ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
11	3, 6, 10	3bitri 206	. 2 |- ( A. z e. ran F ph <-> A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
12		ralcom4 2799	. . . . . 6 |- ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. z A. y e. B ( z = C -> ph ) )
13		r19.23v 2617	. . . . . . 7 |- ( A. y e. B ( z = C -> ph ) <-> ( E. y e. B z = C -> ph ) )
14	13	albii 1494	. . . . . 6 |- ( A. z A. y e. B ( z = C -> ph ) <-> A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
15	12, 14	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
16		nfv 1552	. . . . . . . 8 |- F/ z ps
17		ralrnmpo.2	. . . . . . . 8 |- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )
18	16, 17	ceqsalg 2805	. . . . . . 7 |- ( C e. V -> ( A. z ( z = C -> ph ) <-> ps ) )
19	18	ralimi 2571	. . . . . 6 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( A. z ( z = C -> ph ) <-> ps ) )
20		ralbi 2640	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( A. z ( z = C -> ph ) <-> ps ) -> ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
22	15, 21	bitr3id 194	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
23	22	ralimi 2571	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
24		ralbi 2640	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) -> ( A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )
26	11, 25	bitrid 192	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. z e. ran F ph <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   ran crn 4694   e. cmpo 5969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-oprab 5971  df-mpo 5972

This theorem is referenced by:  txcnp  14858  txcnmpt  14860