Theorem ralrnmpo 5956

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
ralrnmpo.2	|- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralrnmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. z e. ran F ph <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   ps, z   x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y)   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem ralrnmpo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	rnmpo 5952	. . . 4 |- ran F = { w | E. x e. A E. y e. B w = C }
3	2	raleqi 2665	. . 3 |- ( A. z e. ran F ph <-> A. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph )
4		eqeq1 2172	. . . . 5 |- ( w = z -> ( w = C <-> z = C ) )
5	4	2rexbidv 2491	. . . 4 |- ( w = z -> ( E. x e. A E. y e. B w = C <-> E. x e. A E. y e. B z = C ) )
6	5	ralab 2886	. . 3 |- ( A. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph <-> A. z ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) )
7		ralcom4 2748	. . . 4 |- ( A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. z A. x e. A ( E. y e. B z = C -> ph ) )
8		r19.23v 2575	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) )
9	8	albii 1458	. . . 4 |- ( A. z A. x e. A ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. z ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) )
10	7, 9	bitr2i 184	. . 3 |- ( A. z ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
11	3, 6, 10	3bitri 205	. 2 |- ( A. z e. ran F ph <-> A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
12		ralcom4 2748	. . . . . 6 |- ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. z A. y e. B ( z = C -> ph ) )
13		r19.23v 2575	. . . . . . 7 |- ( A. y e. B ( z = C -> ph ) <-> ( E. y e. B z = C -> ph ) )
14	13	albii 1458	. . . . . 6 |- ( A. z A. y e. B ( z = C -> ph ) <-> A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
15	12, 14	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
16		nfv 1516	. . . . . . . 8 |- F/ z ps
17		ralrnmpo.2	. . . . . . . 8 |- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )
18	16, 17	ceqsalg 2754	. . . . . . 7 |- ( C e. V -> ( A. z ( z = C -> ph ) <-> ps ) )
19	18	ralimi 2529	. . . . . 6 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( A. z ( z = C -> ph ) <-> ps ) )
20		ralbi 2598	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( A. z ( z = C -> ph ) <-> ps ) -> ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
22	15, 21	bitr3id 193	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
23	22	ralimi 2529	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
24		ralbi 2598	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) -> ( A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )
25	23, 24	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )
26	11, 25	syl5bb 191	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. z e. ran F ph <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   E.wrex 2445   ran crn 4605   e. cmpo 5844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-oprab 5846  df-mpo 5847

This theorem is referenced by:  txcnp  12911  txcnmpt  12913