Theorem disjnim 3928

Description: If a collection B ( i ) for i e. A is disjoint, then pairs are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
disjnim.1	|- ( i = j -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
disjnim	|- (Disj i e. A B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )

Distinct variable groups:   i, j, A   B, j   C, i

Allowed substitution hints:   B( i)   C( j)

Proof of Theorem disjnim

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disj 3915	. 2 |- (Disj i e. A B <-> A. x E* i e. A x e. B )
2		disjnim.1	. . . . . . 7 |- ( i = j -> B = C )
3	2	eleq2d 2210	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( x e. B <-> x e. C ) )
4	3	rmo4 2881	. . . . 5 |- ( E* i e. A x e. B <-> A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
5	4	albii 1447	. . . 4 |- ( A. x E* i e. A x e. B <-> A. x A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
6		ralcom4 2711	. . . 4 |- ( A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> A. x A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
7	5, 6	bitr4i 186	. . 3 |- ( A. x E* i e. A x e. B <-> A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
8		ralcom4 2711	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
9		19.23v 1856	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> ( E. x ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
10	9	biimpi 119	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( E. x ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
11	10	necon3ad 2351	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( i =/= j -> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) ) )
12		notm0 3388	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x x e. ( B i^i C ) <-> ( B i^i C ) = (/) )
13		elin 3264	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
14	13	exbii 1585	. . . . . . . . 9 |- ( E. x x e. ( B i^i C ) <-> E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
15	14	notbii 658	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x x e. ( B i^i C ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
16	12, 15	bitr3i 185	. . . . . . 7 |- ( ( B i^i C ) = (/) <-> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
17	11, 16	syl6ibr 161	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
18	17	ralimi 2498	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
19	8, 18	sylbir 134	. . . 4 |- ( A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
20	19	ralimi 2498	. . 3 |- ( A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
21	7, 20	sylbi 120	. 2 |- ( A. x E* i e. A x e. B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
22	1, 21	sylbi 120	1 |- (Disj i e. A B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   =/= wne 2309   A.wral 2417   E*wrmo 2420   i^i cin 3075   (/)c0 3368  Disj wdisj 3914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rmo 2425  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-nul 3369  df-disj 3915

This theorem is referenced by:  disjnims  3929