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Theorem disjnim 3888
Description: If a collection  B ( i ) for  i  e.  A is disjoint, then pairs are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
disjnim.1  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
disjnim  |-  (Disj  i  e.  A  B  ->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =/=  j  -> 
( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    i, j, A    B, j    C, i
Allowed substitution hints:    B( i)    C( j)

Proof of Theorem disjnim
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 3875 . 2  |-  (Disj  i  e.  A  B  <->  A. x E* i  e.  A  x  e.  B )
2 disjnim.1 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
32eleq2d 2185 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
x  e.  B  <->  x  e.  C ) )
43rmo4 2848 . . . . 5  |-  ( E* i  e.  A  x  e.  B  <->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( (
x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
54albii 1429 . . . 4  |-  ( A. x E* i  e.  A  x  e.  B  <->  A. x A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
6 ralcom4 2680 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  <->  A. x A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
75, 6bitr4i 186 . . 3  |-  ( A. x E* i  e.  A  x  e.  B  <->  A. i  e.  A  A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
8 ralcom4 2680 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  A  A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  <->  A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
9 19.23v 1837 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  <->  ( E. x ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
109biimpi 119 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  -> 
( E. x ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
1110necon3ad 2325 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  -> 
( i  =/=  j  ->  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x  e.  C )
) )
12 notm0 3351 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
E. x  x  e.  ( B  i^i  C
)  <->  ( B  i^i  C )  =  (/) )
13 elin 3227 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) )
1413exbii 1567 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  x  e.  ( B  i^i  C )  <->  E. x ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) )
1514notbii 640 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
E. x  x  e.  ( B  i^i  C
)  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )
1612, 15bitr3i 185 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )
1711, 16syl6ibr 161 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  -> 
( i  =/=  j  ->  ( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
1817ralimi 2470 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  A  A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  ->  A. j  e.  A  ( i  =/=  j  ->  ( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
198, 18sylbir 134 . . . 4  |-  ( A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  ->  A. j  e.  A  ( i  =/=  j  ->  ( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
2019ralimi 2470 . . 3  |-  ( A. i  e.  A  A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  ->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( i  =/=  j  ->  ( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
217, 20sylbi 120 . 2  |-  ( A. x E* i  e.  A  x  e.  B  ->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =/=  j  -> 
( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
221, 21sylbi 120 1  |-  (Disj  i  e.  A  B  ->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =/=  j  -> 
( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1312    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391   E*wrmo 2394    i^i cin 3038   (/)c0 3331  Disj wdisj 3874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rmo 2399  df-v 2660  df-dif 3041  df-in 3045  df-nul 3332  df-disj 3875
This theorem is referenced by:  disjnims  3889
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