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Theorem disjnim 3836
Description: If a collection  B ( i ) for  i  e.  A is disjoint, then pairs are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
disjnim.1  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
disjnim  |-  (Disj  i  e.  A  B  ->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =/=  j  -> 
( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    i, j, A    B, j    C, i
Allowed substitution hints:    B( i)    C( j)

Proof of Theorem disjnim
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 3823 . 2  |-  (Disj  i  e.  A  B  <->  A. x E* i  e.  A  x  e.  B )
2 disjnim.1 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  B  =  C )
32eleq2d 2157 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
x  e.  B  <->  x  e.  C ) )
43rmo4 2808 . . . . 5  |-  ( E* i  e.  A  x  e.  B  <->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( (
x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
54albii 1404 . . . 4  |-  ( A. x E* i  e.  A  x  e.  B  <->  A. x A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
6 ralcom4 2641 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  <->  A. x A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
75, 6bitr4i 185 . . 3  |-  ( A. x E* i  e.  A  x  e.  B  <->  A. i  e.  A  A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
8 ralcom4 2641 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  A  A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  <->  A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
9 19.23v 1811 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  <->  ( E. x ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
109biimpi 118 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  -> 
( E. x ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j ) )
1110necon3ad 2297 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  -> 
( i  =/=  j  ->  -.  E. x ( x  e.  B  /\  x  e.  C )
) )
12 notm0 3303 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
E. x  x  e.  ( B  i^i  C
)  <->  ( B  i^i  C )  =  (/) )
13 elin 3183 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) )
1413exbii 1541 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  x  e.  ( B  i^i  C )  <->  E. x ( x  e.  B  /\  x  e.  C ) )
1514notbii 629 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
E. x  x  e.  ( B  i^i  C
)  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )
1612, 15bitr3i 184 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  C )  =  (/)  <->  -.  E. x
( x  e.  B  /\  x  e.  C
) )
1711, 16syl6ibr 160 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  -> 
( i  =/=  j  ->  ( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
1817ralimi 2438 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  A  A. x ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  ->  A. j  e.  A  ( i  =/=  j  ->  ( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
198, 18sylbir 133 . . . 4  |-  ( A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  ->  A. j  e.  A  ( i  =/=  j  ->  ( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
2019ralimi 2438 . . 3  |-  ( A. i  e.  A  A. x A. j  e.  A  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  C )  ->  i  =  j )  ->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  ( i  =/=  j  ->  ( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
217, 20sylbi 119 . 2  |-  ( A. x E* i  e.  A  x  e.  B  ->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =/=  j  -> 
( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
221, 21sylbi 119 1  |-  (Disj  i  e.  A  B  ->  A. i  e.  A  A. j  e.  A  (
i  =/=  j  -> 
( B  i^i  C
)  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1287    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   E*wrmo 2362    i^i cin 2998   (/)c0 3286  Disj wdisj 3822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rmo 2367  df-v 2621  df-dif 3001  df-in 3005  df-nul 3287  df-disj 3823
This theorem is referenced by:  disjnims  3837
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