Theorem disjnim 4078

Description: If a collection B ( i ) for i e. A is disjoint, then pairs are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
disjnim.1	|- ( i = j -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
disjnim	|- (Disj i e. A B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )

Distinct variable groups:   i, j, A   B, j   C, i

Allowed substitution hints:   B( i)   C( j)

Proof of Theorem disjnim

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disj 4065	. 2 |- (Disj i e. A B <-> A. x E* i e. A x e. B )
2		disjnim.1	. . . . . . 7 |- ( i = j -> B = C )
3	2	eleq2d 2301	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( x e. B <-> x e. C ) )
4	3	rmo4 2999	. . . . 5 |- ( E* i e. A x e. B <-> A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
5	4	albii 1518	. . . 4 |- ( A. x E* i e. A x e. B <-> A. x A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
6		ralcom4 2825	. . . 4 |- ( A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> A. x A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. x E* i e. A x e. B <-> A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
8		ralcom4 2825	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
9		19.23v 1931	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> ( E. x ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
10	9	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( E. x ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
11	10	necon3ad 2444	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( i =/= j -> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) ) )
12		notm0 3515	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x x e. ( B i^i C ) <-> ( B i^i C ) = (/) )
13		elin 3390	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
14	13	exbii 1653	. . . . . . . . 9 |- ( E. x x e. ( B i^i C ) <-> E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
15	14	notbii 674	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x x e. ( B i^i C ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
16	12, 15	bitr3i 186	. . . . . . 7 |- ( ( B i^i C ) = (/) <-> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
17	11, 16	imbitrrdi 162	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
18	17	ralimi 2595	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
19	8, 18	sylbir 135	. . . 4 |- ( A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
20	19	ralimi 2595	. . 3 |- ( A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
21	7, 20	sylbi 121	. 2 |- ( A. x E* i e. A x e. B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
22	1, 21	sylbi 121	1 |- (Disj i e. A B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   E*wrmo 2513   i^i cin 3199   (/)c0 3494  Disj wdisj 4064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rmo 2518  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-nul 3495  df-disj 4065

This theorem is referenced by:  disjnims  4079