Theorem disjnim 3993

Description: If a collection B ( i ) for i e. A is disjoint, then pairs are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
disjnim.1	|- ( i = j -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
disjnim	|- (Disj i e. A B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )

Distinct variable groups:   i, j, A   B, j   C, i

Allowed substitution hints:   B( i)   C( j)

Proof of Theorem disjnim

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disj 3980	. 2 |- (Disj i e. A B <-> A. x E* i e. A x e. B )
2		disjnim.1	. . . . . . 7 |- ( i = j -> B = C )
3	2	eleq2d 2247	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( x e. B <-> x e. C ) )
4	3	rmo4 2930	. . . . 5 |- ( E* i e. A x e. B <-> A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
5	4	albii 1470	. . . 4 |- ( A. x E* i e. A x e. B <-> A. x A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
6		ralcom4 2759	. . . 4 |- ( A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> A. x A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. x E* i e. A x e. B <-> A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
8		ralcom4 2759	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
9		19.23v 1883	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> ( E. x ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
10	9	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( E. x ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
11	10	necon3ad 2389	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( i =/= j -> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) ) )
12		notm0 3443	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x x e. ( B i^i C ) <-> ( B i^i C ) = (/) )
13		elin 3318	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
14	13	exbii 1605	. . . . . . . . 9 |- ( E. x x e. ( B i^i C ) <-> E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
15	14	notbii 668	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x x e. ( B i^i C ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
16	12, 15	bitr3i 186	. . . . . . 7 |- ( ( B i^i C ) = (/) <-> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
17	11, 16	syl6ibr 162	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
18	17	ralimi 2540	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
19	8, 18	sylbir 135	. . . 4 |- ( A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
20	19	ralimi 2540	. . 3 |- ( A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
21	7, 20	sylbi 121	. 2 |- ( A. x E* i e. A x e. B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
22	1, 21	sylbi 121	1 |- (Disj i e. A B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E*wrmo 2458   i^i cin 3128   (/)c0 3422  Disj wdisj 3979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rmo 2463  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-nul 3423  df-disj 3980

This theorem is referenced by:  disjnims  3994