Theorem disjnim 4020

Description: If a collection B ( i ) for i e. A is disjoint, then pairs are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
disjnim.1	|- ( i = j -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
disjnim	|- (Disj i e. A B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )

Distinct variable groups:   i, j, A   B, j   C, i

Allowed substitution hints:   B( i)   C( j)

Proof of Theorem disjnim

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disj 4007	. 2 |- (Disj i e. A B <-> A. x E* i e. A x e. B )
2		disjnim.1	. . . . . . 7 |- ( i = j -> B = C )
3	2	eleq2d 2263	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( x e. B <-> x e. C ) )
4	3	rmo4 2953	. . . . 5 |- ( E* i e. A x e. B <-> A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
5	4	albii 1481	. . . 4 |- ( A. x E* i e. A x e. B <-> A. x A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
6		ralcom4 2782	. . . 4 |- ( A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> A. x A. i e. A A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. x E* i e. A x e. B <-> A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
8		ralcom4 2782	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
9		19.23v 1894	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) <-> ( E. x ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
10	9	biimpi 120	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( E. x ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) )
11	10	necon3ad 2406	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( i =/= j -> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) ) )
12		notm0 3467	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x x e. ( B i^i C ) <-> ( B i^i C ) = (/) )
13		elin 3342	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
14	13	exbii 1616	. . . . . . . . 9 |- ( E. x x e. ( B i^i C ) <-> E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
15	14	notbii 669	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x x e. ( B i^i C ) <-> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
16	12, 15	bitr3i 186	. . . . . . 7 |- ( ( B i^i C ) = (/) <-> -. E. x ( x e. B /\ x e. C ) )
17	11, 16	imbitrrdi 162	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
18	17	ralimi 2557	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. x ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
19	8, 18	sylbir 135	. . . 4 |- ( A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
20	19	ralimi 2557	. . 3 |- ( A. i e. A A. x A. j e. A ( ( x e. B /\ x e. C ) -> i = j ) -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
21	7, 20	sylbi 121	. 2 |- ( A. x E* i e. A x e. B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )
22	1, 21	sylbi 121	1 |- (Disj i e. A B -> A. i e. A A. j e. A ( i =/= j -> ( B i^i C ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E*wrmo 2475   i^i cin 3152   (/)c0 3446  Disj wdisj 4006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rmo 2480  df-v 2762  df-dif 3155  df-in 3159  df-nul 3447  df-disj 4007

This theorem is referenced by:  disjnims  4021