Theorem iunss 3953

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by NM, 13-Sep-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iunss	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem iunss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3914	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	sseq1i 3205	. 2 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ C )
3		abss 3248	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ C <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
4		dfss2 3168	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
5	4	ralbii 2500	. . 3 |- ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
6		ralcom4 2782	. . 3 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
7		r19.23v 2603	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
8	7	albii 1481	. . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
9	5, 6, 8	3bitrri 207	. 2 |- ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
10	2, 3, 9	3bitri 206	1 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   U_ciun 3912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-iun 3914

This theorem is referenced by:  iunss2  3957  iunssd  3958  djussxp  4807  fun11iun  5521  ennnfonelemf1  12575  imasaddfnlemg  12897  tgidm  14242