Theorem iunss 3929

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by NM, 13-Sep-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iunss	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem iunss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3890	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	sseq1i 3183	. 2 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ C )
3		abss 3226	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ C <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
4		dfss2 3146	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
5	4	ralbii 2483	. . 3 |- ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
6		ralcom4 2761	. . 3 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
7		r19.23v 2586	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
8	7	albii 1470	. . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
9	5, 6, 8	3bitrri 207	. 2 |- ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
10	2, 3, 9	3bitri 206	1 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1351   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3131   U_ciun 3888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-iun 3890

This theorem is referenced by:  iunss2  3933  iunssd  3934  djussxp  4774  fun11iun  5484  ennnfonelemf1  12421  imasaddfnlemg  12740  tgidm  13659