ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunss Unicode version

Theorem iunss 3890
Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by NM, 13-Sep-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
iunss  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  C  <->  A. x  e.  A  B  C_  C )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem iunss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 3851 . . 3  |-  U_ x  e.  A  B  =  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }
21sseq1i 3154 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  C  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  C
)
3 abss 3197 . 2  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  C_  C  <->  A. y
( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  C ) )
4 dfss2 3117 . . . 4  |-  ( B 
C_  C  <->  A. y
( y  e.  B  ->  y  e.  C ) )
54ralbii 2463 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  C_  C  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  C ) )
6 ralcom4 2734 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  y  e.  C )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  y  e.  C ) )
7 r19.23v 2566 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  -> 
y  e.  C )  <-> 
( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  C ) )
87albii 1450 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  y  e.  C )  <->  A. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  C
) )
95, 6, 83bitrri 206 . 2  |-  ( A. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  y  e.  C
)  <->  A. x  e.  A  B  C_  C )
102, 3, 93bitri 205 1  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  C  <->  A. x  e.  A  B  C_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   A.wal 1333    e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   E.wrex 2436    C_ wss 3102   U_ciun 3849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-in 3108  df-ss 3115  df-iun 3851
This theorem is referenced by:  iunss2  3894  djussxp  4731  fun11iun  5435  ennnfonelemf1  12158  tgidm  12485
  Copyright terms: Public domain W3C validator