Theorem iunss 3957

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by NM, 13-Sep-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iunss	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem iunss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3918	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	sseq1i 3209	. 2 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ C )
3		abss 3252	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ C <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
4		dfss2 3172	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
5	4	ralbii 2503	. . 3 |- ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
6		ralcom4 2785	. . 3 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
7		r19.23v 2606	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
8	7	albii 1484	. . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
9	5, 6, 8	3bitrri 207	. 2 |- ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
10	2, 3, 9	3bitri 206	1 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   U_ciun 3916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-iun 3918

This theorem is referenced by:  iunss2  3961  iunssd  3962  djussxp  4811  fun11iun  5525  ennnfonelemf1  12635  imasaddfnlemg  12957  tgidm  14310