Theorem iunss 4037

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by NM, 13-Sep-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iunss	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem iunss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 3998	. . 3 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	sseq1i 3268	. 2 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ C )
3		abss 3311	. 2 |- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ C <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
4		ssalel 3229	. . . 4 |- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
5	4	ralbii 2550	. . 3 |- ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
6		ralcom4 2838	. . 3 |- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
7		r19.23v 2654	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
8	7	albii 1519	. . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
9	5, 6, 8	3bitrri 207	. 2 |- ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
10	2, 3, 9	3bitri 206	1 |- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1396   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   U_ciun 3996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-in 3220  df-ss 3227  df-iun 3998

This theorem is referenced by:  iunss2  4041  iunssd  4042  djussxp  4905  fun11iun  5640  ennnfonelemf1  13253  imasaddfnlemg  13578  prdsval  14115  tgidm  15065