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Theorem reuss2 3407
Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
reuss2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem reuss2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2454 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
2 df-reu 2455 . . 3  |-  ( E! x  e.  B  ps  <->  E! x ( x  e.  B  /\  ps )
)
31, 2anbi12i 457 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E! x  e.  B  ps )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E! x ( x  e.  B  /\  ps ) ) )
4 df-ral 2453 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) ) )
5 ssel 3141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  B )
)
6 anim12 342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  B )  /\  ( ph  ->  ps ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  ->  (
x  e.  B  /\  ps ) ) )
75, 6sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( ph  ->  ps )
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
) )
87exp4b 365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  (
x  e.  B  /\  ps ) ) ) ) )
98com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ( x  e.  B  /\  ps ) ) ) ) )
109a2d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ph  ->  ( x  e.  B  /\  ps ) ) ) ) )
1110imp4a 347 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) )  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  ->  (
x  e.  B  /\  ps ) ) ) )
1211alimdv 1872 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) )  ->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
) ) )
1312imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ps ) ) )  ->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
) )
144, 13sylan2b 285 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  (
ph  ->  ps ) )  ->  A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
) )
15 euimmo 2086 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( x  e.  B  /\  ps )
)  ->  ( E! x ( x  e.  B  /\  ps )  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1614, 15syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  (
ph  ->  ps ) )  ->  ( E! x
( x  e.  B  /\  ps )  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph )
) )
17 eu5 2066 . . . . . 6  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1817simplbi2 383 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  ->  E! x
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1916, 18syl9 72 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  (
ph  ->  ps ) )  ->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  ->  ( E! x ( x  e.  B  /\  ps )  ->  E! x ( x  e.  A  /\  ph ) ) ) )
2019imp32 255 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E! x ( x  e.  B  /\  ps ) ) )  ->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
21 df-reu 2455 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  ph  <->  E! x ( x  e.  A  /\  ph )
)
2220, 21sylibr 133 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  /\  E! x ( x  e.  B  /\  ps ) ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
233, 22sylan2b 285 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1346   E.wex 1485   E!weu 2019   E*wmo 2020    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E!wreu 2450    C_ wss 3121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-in 3127  df-ss 3134
This theorem is referenced by:  reuss  3408  reuun1  3409  riotass2  5833
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