Theorem reuss2 3453

Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuss2	|- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem reuss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2490	. . 3 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
2		df-reu 2491	. . 3 |- ( E! x e. B ps <-> E! x ( x e. B /\ ps ) )
3	1, 2	anbi12i 460	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ps ) ) )
4		df-ral 2489	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ph -> ps ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) )
5		ssel 3187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
6		anim12 344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. A -> x e. B ) /\ ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ B /\ ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
8	7	exp4b 367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B -> ( ( ph -> ps ) -> ( x e. A -> ( ph -> ( x e. B /\ ps ) ) ) ) )
9	8	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ( x e. B /\ ps ) ) ) ) )
10	9	a2d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> ( x e. A -> ( ph -> ( x e. B /\ ps ) ) ) ) )
11	10	imp4a 349	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) ) )
12	11	alimdv 1902	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) ) )
13	12	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ B /\ A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
14	4, 13	sylan2b 287	. . . . . 6 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
15		euimmo 2121	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) -> ( E! x ( x e. B /\ ps ) -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) -> ( E! x ( x e. B /\ ps ) -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
17		eu5 2101	. . . . . 6 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
18	17	simplbi2 385	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E* x ( x e. A /\ ph ) -> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
19	16, 18	syl9 72	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E! x ( x e. B /\ ps ) -> E! x ( x e. A /\ ph ) ) ) )
20	19	imp32 257	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ps ) ) ) -> E! x ( x e. A /\ ph ) )
21		df-reu 2491	. . 3 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
22	20, 21	sylibr 134	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ps ) ) ) -> E! x e. A ph )
23	3, 22	sylan2b 287	1 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   E.wex 1515   E!weu 2054   E*wmo 2055   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   E!wreu 2486   C_ wss 3166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-in 3172  df-ss 3179

This theorem is referenced by:  reuss  3454  reuun1  3455  riotass2  5926