ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reuss2 GIF version

Theorem reuss2 3415
Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
reuss2 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) ∧ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥𝐴 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem reuss2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2461 . . 3 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
2 df-reu 2462 . . 3 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓))
31, 2anbi12i 460 . 2 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓)))
4 df-ral 2460 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝜓)))
5 ssel 3149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
6 anim12 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ (𝜑𝜓)) → ((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓)))
75, 6sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵 ∧ (𝜑𝜓)) → ((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓)))
87exp4b 367 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → ((𝜑𝜓) → (𝑥𝐴 → (𝜑 → (𝑥𝐵𝜓)))))
98com23 78 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴 → ((𝜑𝜓) → (𝜑 → (𝑥𝐵𝜓)))))
109a2d 26 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ((𝑥𝐴 → (𝜑𝜓)) → (𝑥𝐴 → (𝜑 → (𝑥𝐵𝜓)))))
1110imp4a 349 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ((𝑥𝐴 → (𝜑𝜓)) → ((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓))))
1211alimdv 1879 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝜓)) → ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓))))
1312imp 124 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥(𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))) → ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓)))
144, 13sylan2b 287 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) → ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓)))
15 euimmo 2093 . . . . . 6 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) → (𝑥𝐵𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓) → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
1614, 15syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓) → ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
17 eu5 2073 . . . . . 6 (∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
1817simplbi2 385 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) → (∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑) → ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
1916, 18syl9 72 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) → (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) → (∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓) → ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))))
2019imp32 257 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓))) → ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))
21 df-reu 2462 . . 3 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))
2220, 21sylibr 134 . 2 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥𝐵𝜓))) → ∃!𝑥𝐴 𝜑)
233, 22sylan2b 287 1 (((𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓)) ∧ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wal 1351  wex 1492  ∃!weu 2026  ∃*wmo 2027  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  ∃!wreu 2457  wss 3129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-in 3135  df-ss 3142
This theorem is referenced by:  reuss  3416  reuun1  3417  riotass2  5856
  Copyright terms: Public domain W3C validator