Theorem reuss2 3417

Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuss2	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem reuss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2461	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
2		df-reu 2462	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))
3	1, 2	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
4		df-ral 2460	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)))
5		ssel 3151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
6		anim12 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝜓)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝜑 → 𝜓)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
8	7	exp4b 367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝜑 → 𝜓) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))))
9	8	com23 78	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))))
10	9	a2d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))))
11	10	imp4a 349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))))
12	11	alimdv 1879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))))
13	12	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
14	4, 13	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)))
15		euimmo 2093	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) → (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
17		eu5 2073	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
18	17	simplbi2 385	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
19	16, 18	syl9 72	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))))
20	19	imp32 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))) → ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
21		df-reu 2462	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
22	20, 21	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∧ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓))) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
23	3, 22	sylan2b 287	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1351  ∃wex 1492  ∃!weu 2026  ∃*wmo 2027   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ∃!wreu 2457   ⊆ wss 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-in 3137  df-ss 3144

This theorem is referenced by:  reuss  3418  reuun1  3419  riotass2  5859