Theorem riotass2 5824

Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
riotass2	|- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. A ph ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem riotass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuss2 3402	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. A ph )
2		simplr 520	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> A. x e. A ( ph -> ps ) )
3		riotasbc 5813	. . . . 5 |- ( E! x e. A ph -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph )
4		riotacl 5812	. . . . . 6 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )
5		rspsbc 3033	. . . . . . 7 |- ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ( ph -> ps ) ) )
6		sbcimg 2992	. . . . . . 7 |- ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ( ph -> ps ) <-> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) ) )
7	5, 6	sylibd 148	. . . . . 6 |- ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) ) )
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( E! x e. A ph -> ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) ) )
9	3, 8	mpid 42	. . . 4 |- ( E! x e. A ph -> ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) )
10	1, 2, 9	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps )
11	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )
12		ssel 3136	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( iota_ x e. A ph ) e. B ) )
13	12	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( iota_ x e. A ph ) e. B ) )
14	11, 13	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. A ph ) e. B )
15		simprr 522	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. B ps )
16		nfriota1 5805	. . . . 5 |- F/_ x ( iota_ x e. A ph )
17	16	nfsbc1 2968	. . . . 5 |- F/ x [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps
18		sbceq1a 2960	. . . . 5 |- ( x = ( iota_ x e. A ph ) -> ( ps <-> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) )
19	16, 17, 18	riota2f 5819	. . . 4 |- ( ( ( iota_ x e. A ph ) e. B /\ E! x e. B ps ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps <-> ( iota_ x e. B ps ) = ( iota_ x e. A ph ) ) )
20	14, 15, 19	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps <-> ( iota_ x e. B ps ) = ( iota_ x e. A ph ) ) )
21	10, 20	mpbid 146	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. B ps ) = ( iota_ x e. A ph ) )
22	21	eqcomd 2171	1 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. A ph ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   E!wreu 2446   [.wsbc 2951   C_ wss 3116   iota_crio 5797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-iota 5153  df-riota 5798

This theorem is referenced by: (None)