Theorem riotass2 6057

Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
riotass2	|- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. A ph ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem riotass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuss2 3513	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. A ph )
2		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> A. x e. A ( ph -> ps ) )
3		riotasbc 6045	. . . . 5 |- ( E! x e. A ph -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph )
4		riotacl 6044	. . . . . 6 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )
5		rspsbc 3135	. . . . . . 7 |- ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ( ph -> ps ) ) )
6		sbcimg 3093	. . . . . . 7 |- ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ( ph -> ps ) <-> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) ) )
7	5, 6	sylibd 149	. . . . . 6 |- ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) ) )
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( E! x e. A ph -> ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) ) )
9	3, 8	mpid 42	. . . 4 |- ( E! x e. A ph -> ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) )
10	1, 2, 9	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps )
11	1, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )
12		ssel 3242	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( iota_ x e. A ph ) e. B ) )
13	12	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( ( iota_ x e. A ph ) e. A -> ( iota_ x e. A ph ) e. B ) )
14	11, 13	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. A ph ) e. B )
15		simprr 537	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. B ps )
16		nfriota1 6036	. . . . 5 |- F/_ x ( iota_ x e. A ph )
17	16	nfsbc1 3069	. . . . 5 |- F/ x [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps
18		sbceq1a 3061	. . . . 5 |- ( x = ( iota_ x e. A ph ) -> ( ps <-> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps ) )
19	16, 17, 18	riota2f 6051	. . . 4 |- ( ( ( iota_ x e. A ph ) e. B /\ E! x e. B ps ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps <-> ( iota_ x e. B ps ) = ( iota_ x e. A ph ) ) )
20	14, 15, 19	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ps <-> ( iota_ x e. B ps ) = ( iota_ x e. A ph ) ) )
21	10, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. B ps ) = ( iota_ x e. A ph ) )
22	21	eqcomd 2244	1 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> ( iota_ x e. A ph ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   E!wreu 2530   [.wsbc 3051   C_ wss 3220   iota_crio 6027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-iota 5332  df-riota 6028

This theorem is referenced by: (None)