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Theorem riotass2 5870
Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
riotass2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)

Proof of Theorem riotass2
StepHypRef Expression
1 reuss2 3427 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  A  ph )
2 simplr 528 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps ) )
3 riotasbc 5859 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph )
4 riotacl 5858 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
5 rspsbc 3057 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps ) ) )
6 sbcimg 3016 . . . . . . 7  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ( ph  ->  ps )  <->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
75, 6sylibd 149 . . . . . 6  |-  ( (
iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
84, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ph 
->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps ) ) )
93, 8mpid 42 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
101, 2, 9sylc 62 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
111, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A )
12 ssel 3161 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1312ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  (
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  A  -> 
( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B ) )
1411, 13mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B )
15 simprr 531 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  E! x  e.  B  ps )
16 nfriota1 5851 . . . . 5  |-  F/_ x
( iota_ x  e.  A  ph )
1716nfsbc1 2992 . . . . 5  |-  F/ x [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps
18 sbceq1a 2984 . . . . 5  |-  ( x  =  ( iota_ x  e.  A  ph )  -> 
( ps  <->  [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps )
)
1916, 17, 18riota2f 5865 . . . 4  |-  ( ( ( iota_ x  e.  A  ph )  e.  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2014, 15, 19syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( [. ( iota_ x  e.  A  ph )  /  x ]. ps 
<->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph ) ) )
2110, 20mpbid 147 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  A  ph )
)
2221eqcomd 2193 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. x  e.  A  ( ph  ->  ps )
)  /\  ( E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  B  ps ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ph )  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   E!wreu 2467   [.wsbc 2974    C_ wss 3141   iota_crio 5843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-iota 5190  df-riota 5844
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