Theorem sbcof2 1810

Description: Version of sbco 1968 where x is not free in ph. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sbcof2.1	|- ( ph -> A. x ph )

Assertion

Ref	Expression
sbcof2	|- ( [ y / x ] [ x / y ] ph <-> [ y / x ] ph )

Proof of Theorem sbcof2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcof2.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x ph )
2	1	hbsb3 1808	. . . . . 6 |- ( [ x / y ] ph -> A. y [ x / y ] ph )
3	2	sb6f 1803	. . . . 5 |- ( [ y / x ] [ x / y ] ph <-> A. x ( x = y -> [ x / y ] ph ) )
4	1	sb6f 1803	. . . . . . 7 |- ( [ x / y ] ph <-> A. y ( y = x -> ph ) )
5	4	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( x = y -> [ x / y ] ph ) <-> ( x = y -> A. y ( y = x -> ph ) ) )
6	5	albii 1470	. . . . 5 |- ( A. x ( x = y -> [ x / y ] ph ) <-> A. x ( x = y -> A. y ( y = x -> ph ) ) )
7	3, 6	bitri 184	. . . 4 |- ( [ y / x ] [ x / y ] ph <-> A. x ( x = y -> A. y ( y = x -> ph ) ) )
8		ax-11 1506	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A. y ( y = x -> ph ) -> A. x ( x = y -> ( y = x -> ph ) ) ) )
9		equcomi 1704	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> y = x )
10	9	imim1i 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = x -> ph ) -> ( x = y -> ph ) )
11	10	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = y -> ( y = x -> ph ) ) -> ( x = y -> ( x = y -> ph ) ) )
12	11	pm2.43d 50	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y -> ( y = x -> ph ) ) -> ( x = y -> ph ) )
13	12	alimi 1455	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x = y -> ( y = x -> ph ) ) -> A. x ( x = y -> ph ) )
14	8, 13	syl6 33	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A. y ( y = x -> ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
15	14	a2i 11	. . . . 5 |- ( ( x = y -> A. y ( y = x -> ph ) ) -> ( x = y -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
16	15	alimi 1455	. . . 4 |- ( A. x ( x = y -> A. y ( y = x -> ph ) ) -> A. x ( x = y -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
17	7, 16	sylbi 121	. . 3 |- ( [ y / x ] [ x / y ] ph -> A. x ( x = y -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
18		ax-i9 1530	. . . . 5 |- E. x x = y
19		exim 1599	. . . . 5 |- ( A. x ( x = y -> A. x ( x = y -> ph ) ) -> ( E. x x = y -> E. x A. x ( x = y -> ph ) ) )
20	18, 19	mpi 15	. . . 4 |- ( A. x ( x = y -> A. x ( x = y -> ph ) ) -> E. x A. x ( x = y -> ph ) )
21		ax-ial 1534	. . . . 5 |- ( A. x ( x = y -> ph ) -> A. x A. x ( x = y -> ph ) )
22	21	19.9h 1643	. . . 4 |- ( E. x A. x ( x = y -> ph ) <-> A. x ( x = y -> ph ) )
23	20, 22	sylib 122	. . 3 |- ( A. x ( x = y -> A. x ( x = y -> ph ) ) -> A. x ( x = y -> ph ) )
24		sb2 1767	. . 3 |- ( A. x ( x = y -> ph ) -> [ y / x ] ph )
25	17, 23, 24	3syl 17	. 2 |- ( [ y / x ] [ x / y ] ph -> [ y / x ] ph )
26		sb1 1766	. . . 4 |- ( [ y / x ] ph -> E. x ( x = y /\ ph ) )
27		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( x = y /\ ph ) -> x = y )
28		19.8a 1590	. . . . . 6 |- ( ( x = y /\ ph ) -> E. x ( x = y /\ ph ) )
29	27, 28	jca 306	. . . . 5 |- ( ( x = y /\ ph ) -> ( x = y /\ E. x ( x = y /\ ph ) ) )
30	29	eximi 1600	. . . 4 |- ( E. x ( x = y /\ ph ) -> E. x ( x = y /\ E. x ( x = y /\ ph ) ) )
31	9	anim1i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = y /\ ph ) -> ( y = x /\ ph ) )
32	27, 31	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y /\ ph ) -> ( x = y /\ ( y = x /\ ph ) ) )
33	32	eximi 1600	. . . . . . 7 |- ( E. x ( x = y /\ ph ) -> E. x ( x = y /\ ( y = x /\ ph ) ) )
34		ax11e 1796	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( E. x ( x = y /\ ( y = x /\ ph ) ) -> E. y ( y = x /\ ph ) ) )
35	33, 34	syl5 32	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> E. y ( y = x /\ ph ) ) )
36	35	imdistani 445	. . . . 5 |- ( ( x = y /\ E. x ( x = y /\ ph ) ) -> ( x = y /\ E. y ( y = x /\ ph ) ) )
37	36	eximi 1600	. . . 4 |- ( E. x ( x = y /\ E. x ( x = y /\ ph ) ) -> E. x ( x = y /\ E. y ( y = x /\ ph ) ) )
38	26, 30, 37	3syl 17	. . 3 |- ( [ y / x ] ph -> E. x ( x = y /\ E. y ( y = x /\ ph ) ) )
39	2	sb5f 1804	. . . 4 |- ( [ y / x ] [ x / y ] ph <-> E. x ( x = y /\ [ x / y ] ph ) )
40	1	sb5f 1804	. . . . . 6 |- ( [ x / y ] ph <-> E. y ( y = x /\ ph ) )
41	40	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( x = y /\ [ x / y ] ph ) <-> ( x = y /\ E. y ( y = x /\ ph ) ) )
42	41	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. x ( x = y /\ [ x / y ] ph ) <-> E. x ( x = y /\ E. y ( y = x /\ ph ) ) )
43	39, 42	bitri 184	. . 3 |- ( [ y / x ] [ x / y ] ph <-> E. x ( x = y /\ E. y ( y = x /\ ph ) ) )
44	38, 43	sylibr 134	. 2 |- ( [ y / x ] ph -> [ y / x ] [ x / y ] ph )
45	25, 44	impbii 126	1 |- ( [ y / x ] [ x / y ] ph <-> [ y / x ] ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   E.wex 1492   [wsb 1762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-sb 1763

This theorem is referenced by:  sbid2h  1849