ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sbcof2 Unicode version

Theorem sbcof2 1783
Description: Version of sbco 1942 where  x is not free in  ph. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sbcof2.1  |-  ( ph  ->  A. x ph )
Assertion
Ref Expression
sbcof2  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )

Proof of Theorem sbcof2
StepHypRef Expression
1 sbcof2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x ph )
21hbsb3 1781 . . . . . 6  |-  ( [ x  /  y ]
ph  ->  A. y [ x  /  y ] ph )
32sb6f 1776 . . . . 5  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  [ x  /  y ] ph ) )
41sb6f 1776 . . . . . . 7  |-  ( [ x  /  y ]
ph 
<-> 
A. y ( y  =  x  ->  ph )
)
54imbi2i 225 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  ->  [ x  /  y ] ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. y
( y  =  x  ->  ph ) ) )
65albii 1447 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  [ x  /  y ] ph ) 
<-> 
A. x ( x  =  y  ->  A. y
( y  =  x  ->  ph ) ) )
73, 6bitri 183 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. y
( y  =  x  ->  ph ) ) )
8 ax-11 1485 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A. y ( y  =  x  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  ( y  =  x  ->  ph )
) ) )
9 equcomi 1681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  y  =  x )
109imim1i 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  x  ->  ph )  ->  ( x  =  y  ->  ph )
)
1110imim2i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  -> 
( y  =  x  ->  ph ) )  -> 
( x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ph ) ) )
1211pm2.43d 50 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  -> 
( y  =  x  ->  ph ) )  -> 
( x  =  y  ->  ph ) )
1312alimi 1432 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  ( y  =  x  ->  ph )
)  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )
148, 13syl6 33 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A. y ( y  =  x  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
1514a2i 11 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  ->  A. y ( y  =  x  ->  ph ) )  ->  ( x  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
1615alimi 1432 . . . 4  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  A. y
( y  =  x  ->  ph ) )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
177, 16sylbi 120 . . 3  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
18 ax-i9 1511 . . . . 5  |-  E. x  x  =  y
19 exim 1579 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )  -> 
( E. x  x  =  y  ->  E. x A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
2018, 19mpi 15 . . . 4  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )  ->  E. x A. x ( x  =  y  ->  ph ) )
21 ax-ial 1515 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. x ( x  =  y  ->  ph ) )
222119.9h 1623 . . . 4  |-  ( E. x A. x ( x  =  y  ->  ph )  <->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
)
2320, 22sylib 121 . . 3  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) )  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph ) )
24 sb2 1741 . . 3  |-  ( A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  [ y  /  x ] ph )
2517, 23, 243syl 17 . 2  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  ->  [ y  /  x ] ph )
26 sb1 1740 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  E. x ( x  =  y  /\  ph ) )
27 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ph )  ->  x  =  y )
28 19.8a 1570 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  ph )  ->  E. x
( x  =  y  /\  ph ) )
2927, 28jca 304 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  ph )  ->  ( x  =  y  /\  E. x
( x  =  y  /\  ph ) ) )
3029eximi 1580 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  ph )  ->  E. x ( x  =  y  /\  E. x ( x  =  y  /\  ph )
) )
319anim1i 338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  /\  ph )  ->  ( y  =  x  /\  ph )
)
3227, 31jca 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  ph )  ->  ( x  =  y  /\  (
y  =  x  /\  ph ) ) )
3332eximi 1580 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  ph )  ->  E. x ( x  =  y  /\  (
y  =  x  /\  ph ) ) )
34 ax11e 1769 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( E. x ( x  =  y  /\  ( y  =  x  /\  ph ) )  ->  E. y
( y  =  x  /\  ph ) ) )
3533, 34syl5 32 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( E. x ( x  =  y  /\  ph )  ->  E. y ( y  =  x  /\  ph ) ) )
3635imdistani 442 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  E. x ( x  =  y  /\  ph )
)  ->  ( x  =  y  /\  E. y
( y  =  x  /\  ph ) ) )
3736eximi 1580 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  E. x
( x  =  y  /\  ph ) )  ->  E. x ( x  =  y  /\  E. y ( y  =  x  /\  ph )
) )
3826, 30, 373syl 17 . . 3  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  E. x ( x  =  y  /\  E. y ( y  =  x  /\  ph )
) )
392sb5f 1777 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  <->  E. x ( x  =  y  /\  [
x  /  y ]
ph ) )
401sb5f 1777 . . . . . 6  |-  ( [ x  /  y ]
ph 
<->  E. y ( y  =  x  /\  ph ) )
4140anbi2i 453 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  /\  [ x  /  y ]
ph )  <->  ( x  =  y  /\  E. y
( y  =  x  /\  ph ) ) )
4241exbii 1585 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  [ x  /  y ] ph ) 
<->  E. x ( x  =  y  /\  E. y ( y  =  x  /\  ph )
) )
4339, 42bitri 183 . . 3  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  <->  E. x ( x  =  y  /\  E. y ( y  =  x  /\  ph )
) )
4438, 43sylibr 133 . 2  |-  ( [ y  /  x ] ph  ->  [ y  /  x ] [ x  / 
y ] ph )
4525, 44impbii 125 1  |-  ( [ y  /  x ] [ x  /  y ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1330   E.wex 1469   [wsb 1736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-sb 1737
This theorem is referenced by:  sbid2h  1822
  Copyright terms: Public domain W3C validator