Theorem ssoprab2i 6011

Description: Inference of operation class abstraction subclass from implication. (Contributed by NM, 11-Nov-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssoprab2i.1	|- ( ph -> ps )

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2i	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y, z)

Proof of Theorem ssoprab2i

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssoprab2i.1	. . . . 5 |- ( ph -> ps )
2	1	anim2i 342	. . . 4 |- ( ( w = <. x , y >. /\ ph ) -> ( w = <. x , y >. /\ ps ) )
3	2	2eximi 1615	. . 3 |- ( E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ps ) )
4	3	ssopab2i 4312	. 2 |- { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } C_ { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ps ) }
5		dfoprab2 5969	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
6		dfoprab2 5969	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ps } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ps ) }
7	4, 5, 6	3sstr4i 3224	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   C_ wss 3157   <.cop 3625   {copab 4093   {coprab 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-opab 4095  df-oprab 5926

This theorem is referenced by:  mpomulf  8016