Theorem rabeqbidv 2797

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
rabeqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	|- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2		rabeq 2794	. . 3 |- ( A = B -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
4		rabeqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
5	4	rabbidv 2791	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ps } = { x e. B | ch } )
6	3, 5	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   {crab 2514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rab 2519

This theorem is referenced by:  elfvmptrab1  5741  elovmporab1w  6223  mpoxopoveq  6406  supeq123d  7190  phival  12803  dfphi2  12810  gsumress  13496  ismhm  13562  mhmex  13563  issubm  13573  issubg  13778  subgex  13781  isnsg  13807  dfrhm2  14187  isrim0  14194  issubrng  14232  issubrg  14254  rrgval  14295  lsssetm  14389  mplvalcoe  14723  cldval  14842  neifval  14883  cnfval  14937  cnpfval  14938  cnprcl2k  14949  hmeofvalg  15046  ispsmet  15066  ismet  15087  isxmet  15088  blfvalps  15128  cncfval  15315  vtxdgfval  16158  vtxdgop  16162  vtxdeqd  16166  clwwlkg  16263  clwwlkng  16275