Theorem rabeqbidv 2816

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
rabeqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	|- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2		rabeq 2813	. . 3 |- ( A = B -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
4		rabeqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
5	4	rabbidv 2810	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ps } = { x e. B | ch } )
6	3, 5	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rab 2537

This theorem is used by:  elfvmptrab1  5804  elovmporab1w  6293  suppval  6481  mpoxopoveq  6516  supeq123d  7337  phival  13019  dfphi2  13026  gzsumress  13770  ismhm  13826  mhmex  13827  issubm  13837  issubg  14034  subgex  14037  isnsg  14063  cntzex  14149  cntzfval  14151  dfrhm2  14569  isrim0  14576  issubrng  14615  issubrg  14637  rrgval  14678  lsssetm  14801  mplvalg  15222  cldval  15342  neifval  15383  cnfval  15437  cnpfval  15438  cnprcl2k  15449  hmeofvalg  15546  ispsmet  15566  ismet  15587  isxmet  15588  blfvalps  15628  cncfval  15815  vtxdgfval  16751  vtxdgop  16755  vtxdeqd  16759  clwwlkg  16856  clwwlkng  16868