Theorem rabeqbidv 2797

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
rabeqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	|- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2		rabeq 2794	. . 3 |- ( A = B -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
4		rabeqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
5	4	rabbidv 2791	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ps } = { x e. B | ch } )
6	3, 5	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   {crab 2514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rab 2519

This theorem is referenced by:  elfvmptrab1  5741  elovmporab1w  6222  mpoxopoveq  6405  supeq123d  7189  phival  12784  dfphi2  12791  gsumress  13477  ismhm  13543  mhmex  13544  issubm  13554  issubg  13759  subgex  13762  isnsg  13788  dfrhm2  14167  isrim0  14174  issubrng  14212  issubrg  14234  rrgval  14275  lsssetm  14369  mplvalcoe  14703  cldval  14822  neifval  14863  cnfval  14917  cnpfval  14918  cnprcl2k  14929  hmeofvalg  15026  ispsmet  15046  ismet  15067  isxmet  15068  blfvalps  15108  cncfval  15295  vtxdgfval  16138  vtxdgop  16142  vtxdeqd  16146  clwwlkg  16243  clwwlkng  16255