Theorem rabeqbidv 2808

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
rabeqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	|- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2		rabeq 2805	. . 3 |- ( A = B -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
4		rabeqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
5	4	rabbidv 2802	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ps } = { x e. B | ch } )
6	3, 5	eqtrd 2265	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   {crab 2524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rab 2529

This theorem is referenced by:  elfvmptrab1  5772  elovmporab1w  6255  suppval  6437  mpoxopoveq  6471  supeq123d  7282  phival  12910  dfphi2  12917  gsumress  13608  ismhm  13674  mhmex  13675  issubm  13685  issubg  13890  subgex  13893  isnsg  13919  dfrhm2  14299  isrim0  14306  issubrng  14344  issubrg  14366  rrgval  14407  lsssetm  14504  mplvalcoe  14845  cldval  14964  neifval  15005  cnfval  15059  cnpfval  15060  cnprcl2k  15071  hmeofvalg  15168  ispsmet  15188  ismet  15209  isxmet  15210  blfvalps  15250  cncfval  15437  vtxdgfval  16283  vtxdgop  16287  vtxdeqd  16291  clwwlkg  16388  clwwlkng  16400