Theorem rabeqbidv 2810

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
rabeqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	|- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2		rabeq 2807	. . 3 |- ( A = B -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
4		rabeqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
5	4	rabbidv 2804	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ps } = { x e. B | ch } )
6	3, 5	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   {crab 2526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rab 2531

This theorem is referenced by:  elfvmptrab1  5777  elovmporab1w  6263  suppval  6450  mpoxopoveq  6484  supeq123d  7295  phival  12935  dfphi2  12942  gsumress  13658  ismhm  13716  mhmex  13717  issubm  13727  issubg  13926  subgex  13929  isnsg  13955  dfrhm2  14399  isrim0  14406  issubrng  14445  issubrg  14467  rrgval  14508  lsssetm  14630  mplvalcoe  14971  cldval  15090  neifval  15131  cnfval  15185  cnpfval  15186  cnprcl2k  15197  hmeofvalg  15294  ispsmet  15314  ismet  15335  isxmet  15336  blfvalps  15376  cncfval  15563  vtxdgfval  16409  vtxdgop  16413  vtxdeqd  16417  clwwlkg  16514  clwwlkng  16526