Theorem rabeqbidv 2816

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
rabeqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	|- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2		rabeq 2813	. . 3 |- ( A = B -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
4		rabeqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
5	4	rabbidv 2810	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ps } = { x e. B | ch } )
6	3, 5	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rab 2537

This theorem is used by:  elfvmptrab1  5801  elovmporab1w  6290  suppval  6477  mpoxopoveq  6511  supeq123d  7331  phival  12991  dfphi2  12998  gzsumress  13712  ismhm  13768  mhmex  13769  issubm  13779  issubg  13976  subgex  13979  isnsg  14005  dfrhm2  14461  isrim0  14468  issubrng  14507  issubrg  14529  rrgval  14570  lsssetm  14693  mplvalcoe  15081  cldval  15200  neifval  15241  cnfval  15295  cnpfval  15296  cnprcl2k  15307  hmeofvalg  15404  ispsmet  15424  ismet  15445  isxmet  15446  blfvalps  15486  cncfval  15673  vtxdgfval  16529  vtxdgop  16533  vtxdeqd  16537  clwwlkg  16634  clwwlkng  16646