Theorem rabeqbidv 2798

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
rabeqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	|- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2		rabeq 2795	. . 3 |- ( A = B -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
4		rabeqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
5	4	rabbidv 2792	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ps } = { x e. B | ch } )
6	3, 5	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   {crab 2515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rab 2520

This theorem is referenced by:  elfvmptrab1  5750  elovmporab1w  6233  suppval  6415  mpoxopoveq  6449  supeq123d  7250  phival  12865  dfphi2  12872  gsumress  13558  ismhm  13624  mhmex  13625  issubm  13635  issubg  13840  subgex  13843  isnsg  13869  dfrhm2  14249  isrim0  14256  issubrng  14294  issubrg  14316  rrgval  14357  lsssetm  14452  mplvalcoe  14791  cldval  14910  neifval  14951  cnfval  15005  cnpfval  15006  cnprcl2k  15017  hmeofvalg  15114  ispsmet  15134  ismet  15155  isxmet  15156  blfvalps  15196  cncfval  15383  vtxdgfval  16229  vtxdgop  16233  vtxdeqd  16237  clwwlkg  16334  clwwlkng  16346