Theorem rabeqbidv 2816

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
rabeqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	|- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2		rabeq 2813	. . 3 |- ( A = B -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
4		rabeqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
5	4	rabbidv 2810	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ps } = { x e. B | ch } )
6	3, 5	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rab 2537

This theorem is used by:  elfvmptrab1  5801  elovmporab1w  6290  suppval  6477  mpoxopoveq  6511  supeq123d  7332  phival  13013  dfphi2  13020  gzsumress  13763  ismhm  13819  mhmex  13820  issubm  13830  issubg  14027  subgex  14030  isnsg  14056  dfrhm2  14512  isrim0  14519  issubrng  14558  issubrg  14580  rrgval  14621  lsssetm  14744  mplvalcoe  15133  cldval  15252  neifval  15293  cnfval  15347  cnpfval  15348  cnprcl2k  15359  hmeofvalg  15456  ispsmet  15476  ismet  15497  isxmet  15498  blfvalps  15538  cncfval  15725  vtxdgfval  16651  vtxdgop  16655  vtxdeqd  16659  clwwlkg  16756  clwwlkng  16768