Theorem rabeqbidv 2816

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
rabeqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	|- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2		rabeq 2813	. . 3 |- ( A = B -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ps } )
4		rabeqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
5	4	rabbidv 2810	. 2 |- ( ph -> { x e. B | ps } = { x e. B | ch } )
6	3, 5	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> { x e. A | ps } = { x e. B | ch } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rab 2537

This theorem is used by:  elfvmptrab1  5801  elovmporab1w  6290  suppval  6477  mpoxopoveq  6511  supeq123d  7332  phival  13014  dfphi2  13021  gzsumress  13765  ismhm  13821  mhmex  13822  issubm  13832  issubg  14029  subgex  14032  isnsg  14058  cntzex  14144  cntzfval  14146  dfrhm2  14545  isrim0  14552  issubrng  14591  issubrg  14613  rrgval  14654  lsssetm  14777  mplvalcoe  15172  cldval  15291  neifval  15332  cnfval  15386  cnpfval  15387  cnprcl2k  15398  hmeofvalg  15495  ispsmet  15515  ismet  15536  isxmet  15537  blfvalps  15577  cncfval  15764  vtxdgfval  16695  vtxdgop  16699  vtxdeqd  16703  clwwlkg  16800  clwwlkng  16812