Theorem uniopel 4242

Description: Ordered pair membership is inherited by class union. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniopel	|- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Proof of Theorem uniopel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	uniop 4241	. . 3 |- U. <. A , B >. = { A , B }
4	1, 2	opi2 4219	. . 3 |- { A , B } e. <. A , B >.
5	3, 4	eqeltri 2244	. 2 |- U. <. A , B >. e. <. A , B >.
6		elssuni 3825	. . 3 |- ( <. A , B >. e. C -> <. A , B >. C_ U. C )
7	6	sseld 3147	. 2 |- ( <. A , B >. e. C -> ( U. <. A , B >. e. <. A , B >. -> U. <. A , B >. e. U. C ) )
8	5, 7	mpi 15	1 |- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2142   _Vcvv 2731   {cpr 3585   <.cop 3587   U.cuni 3797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-rex 2455  df-v 2733  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798

This theorem is referenced by:  dmrnssfld  4875  unielrel  5140