Theorem uniopel 4378

Description: Ordered pair membership is inherited by class union. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniopel	|- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Proof of Theorem uniopel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	uniop 4377	. . 3 |- U. <. A , B >. = { A , B }
4	1, 2	opi2 4354	. . 3 |- { A , B } e. <. A , B >.
5	3, 4	eqeltri 2307	. 2 |- U. <. A , B >. e. <. A , B >.
6		elssuni 3947	. . 3 |- ( <. A , B >. e. C -> <. A , B >. C_ U. C )
7	6	sseld 3241	. 2 |- ( <. A , B >. e. C -> ( U. <. A , B >. e. <. A , B >. -> U. <. A , B >. e. U. C ) )
8	5, 7	mpi 15	1 |- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {cpr 3695   <.cop 3697   U.cuni 3919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920

This theorem is referenced by:  dmrnssfld  5025  unielrel  5295