Theorem uniopel 4343

Description: Ordered pair membership is inherited by class union. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniopel	|- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Proof of Theorem uniopel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	uniop 4342	. . 3 |- U. <. A , B >. = { A , B }
4	1, 2	opi2 4319	. . 3 |- { A , B } e. <. A , B >.
5	3, 4	eqeltri 2302	. 2 |- U. <. A , B >. e. <. A , B >.
6		elssuni 3916	. . 3 |- ( <. A , B >. e. C -> <. A , B >. C_ U. C )
7	6	sseld 3223	. 2 |- ( <. A , B >. e. C -> ( U. <. A , B >. e. <. A , B >. -> U. <. A , B >. e. U. C ) )
8	5, 7	mpi 15	1 |- ( <. A , B >. e. C -> U. <. A , B >. e. U. C )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {cpr 3667   <.cop 3669   U.cuni 3888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889

This theorem is referenced by:  dmrnssfld  4987  unielrel  5256