ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uniopel Unicode version

Theorem uniopel 4216
Description: Ordered pair membership is inherited by class union. (Contributed by NM, 13-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opthw.1  |-  A  e. 
_V
opthw.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
uniopel  |-  ( <. A ,  B >.  e.  C  ->  U. <. A ,  B >.  e.  U. C
)

Proof of Theorem uniopel
StepHypRef Expression
1 opthw.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 opthw.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2uniop 4215 . . 3  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }
41, 2opi2 4193 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  <. A ,  B >.
53, 4eqeltri 2230 . 2  |-  U. <. A ,  B >.  e.  <. A ,  B >.
6 elssuni 3800 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  C  ->  <. A ,  B >.  C_  U. C )
76sseld 3127 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  C  ->  ( U. <. A ,  B >.  e. 
<. A ,  B >.  ->  U. <. A ,  B >.  e.  U. C ) )
85, 7mpi 15 1  |-  ( <. A ,  B >.  e.  C  ->  U. <. A ,  B >.  e.  U. C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2128   _Vcvv 2712   {cpr 3561   <.cop 3563   U.cuni 3772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773
This theorem is referenced by:  dmrnssfld  4849  unielrel  5113
  Copyright terms: Public domain W3C validator