Theorem unielrel 5210

Description: The membership relation for a relation is inherited by class union. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unielrel	|- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Proof of Theorem unielrel

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrel 4777	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		simpr 110	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> A e. R )
3		vex 2775	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2775	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	uniopel 4301	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R ) )
7		eleq1 2268	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
8		unieq 3859	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
9	8	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. U. R <-> U. <. x , y >. e. U. R ) )
10	6, 7, 9	3imtr4d 203	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
11	10	exlimivv 1920	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
12	1, 2, 11	sylc 62	1 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   <.cop 3636   U.cuni 3850   Rel wrel 4680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682

This theorem is referenced by: (None)