Theorem unielrel 5197

Description: The membership relation for a relation is inherited by class union. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unielrel	|- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Proof of Theorem unielrel

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrel 4765	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		simpr 110	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> A e. R )
3		vex 2766	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2766	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	uniopel 4289	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R ) )
7		eleq1 2259	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
8		unieq 3848	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
9	8	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. U. R <-> U. <. x , y >. e. U. R ) )
10	6, 7, 9	3imtr4d 203	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
11	10	exlimivv 1911	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
12	1, 2, 11	sylc 62	1 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   <.cop 3625   U.cuni 3839   Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670

This theorem is referenced by: (None)