Theorem unielrel 5138

Description: The membership relation for a relation is inherited by class union. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unielrel	|- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Proof of Theorem unielrel

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrel 4713	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		simpr 109	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> A e. R )
3		vex 2733	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2733	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	uniopel 4241	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R ) )
7		eleq1 2233	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
8		unieq 3805	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
9	8	eleq1d 2239	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. U. R <-> U. <. x , y >. e. U. R ) )
10	6, 7, 9	3imtr4d 202	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
11	10	exlimivv 1889	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
12	1, 2, 11	sylc 62	1 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   <.cop 3586   U.cuni 3796   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618

This theorem is referenced by: (None)