Theorem unielrel 5131

Description: The membership relation for a relation is inherited by class union. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unielrel	|- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Proof of Theorem unielrel

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrel 4706	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		simpr 109	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> A e. R )
3		vex 2729	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2729	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	uniopel 4234	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R ) )
7		eleq1 2229	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
8		unieq 3798	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
9	8	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. U. R <-> U. <. x , y >. e. U. R ) )
10	6, 7, 9	3imtr4d 202	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
11	10	exlimivv 1884	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
12	1, 2, 11	sylc 62	1 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   <.cop 3579   U.cuni 3789   Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611

This theorem is referenced by: (None)