Theorem unielrel 5271

Description: The membership relation for a relation is inherited by class union. (Contributed by NM, 17-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unielrel	|- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Proof of Theorem unielrel

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrel 4834	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
2		simpr 110	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> A e. R )
3		vex 2806	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2806	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	uniopel 4355	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. R -> U. <. x , y >. e. U. R ) )
7		eleq1 2294	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
8		unieq 3907	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> U. A = U. <. x , y >. )
9	8	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> ( U. A e. U. R <-> U. <. x , y >. e. U. R ) )
10	6, 7, 9	3imtr4d 203	. . 3 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
11	10	exlimivv 1945	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. -> ( A e. R -> U. A e. U. R ) )
12	1, 2, 11	sylc 62	1 |- ( ( Rel R /\ A e. R ) -> U. A e. U. R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   <.cop 3676   U.cuni 3898   Rel wrel 4736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738

This theorem is referenced by: (None)