Theorem uniop 4288

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3807	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3849	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4218	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4244	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3853	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3770	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3333	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 145	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2221	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   C_ wss 3157   {csn 3622   {cpr 3623   <.cop 3625   U.cuni 3839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840

This theorem is referenced by:  uniopel  4289  elvvuni  4727  dmrnssfld  4929