Theorem uniop 4240

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3764	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3806	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4171	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4196	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 424	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3810	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3728	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3297	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 144	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2195	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   C_ wss 3121   {csn 3583   {cpr 3584   <.cop 3586   U.cuni 3796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797

This theorem is referenced by:  uniopel  4241  elvvuni  4675  dmrnssfld  4874