Theorem uniop 4233

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3757	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3799	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4164	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4189	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 423	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3803	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3721	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3292	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 144	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2190	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   C_ wss 3116   {csn 3576   {cpr 3577   <.cop 3579   U.cuni 3789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790

This theorem is referenced by:  uniopel  4234  elvvuni  4668  dmrnssfld  4867