Theorem uniop 4177

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3704	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3746	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4109	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4133	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 422	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3750	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3668	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3246	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 144	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2164	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   C_ wss 3071   {csn 3527   {cpr 3528   <.cop 3530   U.cuni 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737

This theorem is referenced by:  uniopel  4178  elvvuni  4603  dmrnssfld  4802