Theorem uniop 4372

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3882	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3924	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4298	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4325	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3928	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3842	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3389	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 145	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2257	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   C_ wss 3211   {csn 3689   {cpr 3690   <.cop 3692   U.cuni 3914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915

This theorem is referenced by:  uniopel  4373  elvvuni  4814  dmrnssfld  5020