ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uniop Unicode version

Theorem uniop 4184
Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opthw.1  |-  A  e. 
_V
opthw.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
uniop  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }

Proof of Theorem uniop
StepHypRef Expression
1 opthw.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 opthw.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2dfop 3711 . . 3  |-  <. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } }
43unieqi 3753 . 2  |-  U. <. A ,  B >.  =  U. { { A } ,  { A ,  B } }
51snex 4116 . . 3  |-  { A }  e.  _V
6 prexg 4140 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
71, 2, 6mp2an 423 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  _V
85, 7unipr 3757 . 2  |-  U. { { A } ,  { A ,  B } }  =  ( { A }  u.  { A ,  B } )
9 snsspr1 3675 . . 3  |-  { A }  C_  { A ,  B }
10 ssequn1 3250 . . 3  |-  ( { A }  C_  { A ,  B }  <->  ( { A }  u.  { A ,  B } )  =  { A ,  B } )
119, 10mpbi 144 . 2  |-  ( { A }  u.  { A ,  B }
)  =  { A ,  B }
124, 8, 113eqtri 2165 1  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    u. cun 3073    C_ wss 3075   {csn 3531   {cpr 3532   <.cop 3534   U.cuni 3743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744
This theorem is referenced by:  uniopel  4185  elvvuni  4610  dmrnssfld  4809
  Copyright terms: Public domain W3C validator