ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uniop Unicode version

Theorem uniop 4135
Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opthw.1  |-  A  e. 
_V
opthw.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
uniop  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }

Proof of Theorem uniop
StepHypRef Expression
1 opthw.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 opthw.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2dfop 3668 . . 3  |-  <. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } }
43unieqi 3710 . 2  |-  U. <. A ,  B >.  =  U. { { A } ,  { A ,  B } }
51snex 4067 . . 3  |-  { A }  e.  _V
6 prexg 4091 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
71, 2, 6mp2an 420 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  _V
85, 7unipr 3714 . 2  |-  U. { { A } ,  { A ,  B } }  =  ( { A }  u.  { A ,  B } )
9 snsspr1 3632 . . 3  |-  { A }  C_  { A ,  B }
10 ssequn1 3210 . . 3  |-  ( { A }  C_  { A ,  B }  <->  ( { A }  u.  { A ,  B } )  =  { A ,  B } )
119, 10mpbi 144 . 2  |-  ( { A }  u.  { A ,  B }
)  =  { A ,  B }
124, 8, 113eqtri 2137 1  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1312    e. wcel 1461   _Vcvv 2655    u. cun 3033    C_ wss 3035   {csn 3491   {cpr 3492   <.cop 3494   U.cuni 3700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-rex 2394  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701
This theorem is referenced by:  uniopel  4136  elvvuni  4561  dmrnssfld  4758
  Copyright terms: Public domain W3C validator