Theorem uniop 4391

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3898	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3940	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4317	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4344	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 430	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3944	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3858	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3399	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 145	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2263	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3705   {cpr 3706   <.cop 3708   U.cuni 3930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931

This theorem is referenced by:  uniopel  4392  elvvuni  4834  dmrnssfld  5040