Theorem uniop 4135

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3668	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3710	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4067	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4091	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 420	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3714	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3632	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3210	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 144	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2137	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1312   e. wcel 1461   _Vcvv 2655   u. cun 3033   C_ wss 3035   {csn 3491   {cpr 3492   <.cop 3494   U.cuni 3700

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-rex 2394  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701

This theorem is referenced by:  uniopel  4136  elvvuni  4561  dmrnssfld  4758