Theorem uniop 4257

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3779	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3821	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4187	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4213	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3825	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3742	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3307	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 145	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2202	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   u. cun 3129   C_ wss 3131   {csn 3594   {cpr 3595   <.cop 3597   U.cuni 3811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812

This theorem is referenced by:  uniopel  4258  elvvuni  4692  dmrnssfld  4892