Theorem uniop 4300

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3818	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3860	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4229	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4255	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 426	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3864	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3781	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3343	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 145	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2230	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   C_ wss 3166   {csn 3633   {cpr 3634   <.cop 3636   U.cuni 3850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851

This theorem is referenced by:  uniopel  4301  elvvuni  4739  dmrnssfld  4941