ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uniop Unicode version

Theorem uniop 4073
Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opthw.1  |-  A  e. 
_V
opthw.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
uniop  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }

Proof of Theorem uniop
StepHypRef Expression
1 opthw.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 opthw.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2dfop 3616 . . 3  |-  <. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } }
43unieqi 3658 . 2  |-  U. <. A ,  B >.  =  U. { { A } ,  { A ,  B } }
51snex 4011 . . 3  |-  { A }  e.  _V
6 prexg 4029 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
71, 2, 6mp2an 417 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  _V
85, 7unipr 3662 . 2  |-  U. { { A } ,  { A ,  B } }  =  ( { A }  u.  { A ,  B } )
9 snsspr1 3580 . . 3  |-  { A }  C_  { A ,  B }
10 ssequn1 3168 . . 3  |-  ( { A }  C_  { A ,  B }  <->  ( { A }  u.  { A ,  B } )  =  { A ,  B } )
119, 10mpbi 143 . 2  |-  ( { A }  u.  { A ,  B }
)  =  { A ,  B }
124, 8, 113eqtri 2112 1  |-  U. <. A ,  B >.  =  { A ,  B }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    u. cun 2995    C_ wss 2997   {csn 3441   {cpr 3442   <.cop 3444   U.cuni 3648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649
This theorem is referenced by:  uniopel  4074  elvvuni  4490  dmrnssfld  4684
  Copyright terms: Public domain W3C validator