Theorem uniop 4227

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39. (Contributed by NM, 17-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
uniop	|- U. <. A , B >. = { A , B }

Proof of Theorem uniop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opthw.1	. . . 4 |- A e. _V
2		opthw.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3751	. . 3 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	unieqi 3793	. 2 |- U. <. A , B >. = U. { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4158	. . 3 |- { A } e. _V
6		prexg 4183	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 423	. . 3 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	unipr 3797	. 2 |- U. { { A } , { A , B } } = ( { A } u. { A , B } )
9		snsspr1 3715	. . 3 |- { A } C_ { A , B }
10		ssequn1 3287	. . 3 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } u. { A , B } ) = { A , B } )
11	9, 10	mpbi 144	. 2 |- ( { A } u. { A , B } ) = { A , B }
12	4, 8, 11	3eqtri 2189	1 |- U. <. A , B >. = { A , B }

Syntax hints:   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   u. cun 3109   C_ wss 3111   {csn 3570   {cpr 3571   <.cop 3573   U.cuni 3783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784

This theorem is referenced by:  uniopel  4228  elvvuni  4662  dmrnssfld  4861