Theorem dmrnssfld 4872

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2733	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4807	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3687	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2733	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4238	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4239	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2258	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3822	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3146	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1591	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 120	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3151	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4851	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3688	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3146	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1591	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 120	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3151	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3302	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1485   e. wcel 2141   u. cun 3119   C_ wss 3121   {cpr 3582   <.cop 3584   U.cuni 3794   dom cdm 4609   ran crn 4610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-cnv 4617  df-dm 4619  df-rn 4620

This theorem is referenced by:  dmexg  4873  rnexg  4874  relfld  5137  relcoi2  5139