Theorem dmrnssfld 4941

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2775	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4876	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3739	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2775	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4300	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4301	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2293	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3878	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3192	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1621	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 121	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3197	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4920	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3740	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3192	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1621	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 121	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3197	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3348	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1515   e. wcel 2176   u. cun 3164   C_ wss 3166   {cpr 3634   <.cop 3636   U.cuni 3850   dom cdm 4675   ran crn 4676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686

This theorem is referenced by:  dmexg  4942  rnexg  4943  relfld  5211  relcoi2  5213