Theorem dmrnssfld 4995

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4929	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3777	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2805	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4348	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4349	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2319	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3921	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3226	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1646	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 121	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3231	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4974	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3778	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3226	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1646	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 121	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3231	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3382	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1540   e. wcel 2202   u. cun 3198   C_ wss 3200   {cpr 3670   <.cop 3672   U.cuni 3893   dom cdm 4725   ran crn 4726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736

This theorem is referenced by:  dmexg  4996  rnexg  4997  relfld  5265  relcoi2  5267