ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmrnssfld Unicode version

Theorem dmrnssfld 4872
Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)
Assertion
Ref Expression
dmrnssfld  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2733 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 4807 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
31prid1 3687 . . . . . 6  |-  x  e. 
{ x ,  y }
4 vex 2733 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
51, 4uniop 4238 . . . . . . . . 9  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
61, 4uniopel 4239 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  U. <. x ,  y >.  e.  U. A )
75, 6eqeltrrid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  e.  U. A )
8 elssuni 3822 . . . . . . . 8  |-  ( { x ,  y }  e.  U. A  ->  { x ,  y }  C_  U. U. A
)
97, 8syl 14 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  { x ,  y }  C_  U.
U. A )
109sseld 3146 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( x  e.  { x ,  y }  ->  x  e.  U. U. A ) )
113, 10mpi 15 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  x  e. 
U. U. A )
1211exlimiv 1591 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  A  ->  x  e.  U. U. A )
132, 12sylbi 120 . . 3  |-  ( x  e.  dom  A  ->  x  e.  U. U. A
)
1413ssriv 3151 . 2  |-  dom  A  C_ 
U. U. A
154elrn2 4851 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x <. x ,  y >.  e.  A )
164prid2 3688 . . . . . 6  |-  y  e. 
{ x ,  y }
179sseld 3146 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  ( y  e.  { x ,  y }  ->  y  e.  U. U. A ) )
1816, 17mpi 15 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  y  e. 
U. U. A )
1918exlimiv 1591 . . . 4  |-  ( E. x <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  e.  U. U. A )
2015, 19sylbi 120 . . 3  |-  ( y  e.  ran  A  -> 
y  e.  U. U. A )
2120ssriv 3151 . 2  |-  ran  A  C_ 
U. U. A
2214, 21unssi 3302 1  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1485    e. wcel 2141    u. cun 3119    C_ wss 3121   {cpr 3582   <.cop 3584   U.cuni 3794   dom cdm 4609   ran crn 4610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-cnv 4617  df-dm 4619  df-rn 4620
This theorem is referenced by:  dmexg  4873  rnexg  4874  relfld  5137  relcoi2  5139
  Copyright terms: Public domain W3C validator