Theorem dmrnssfld 5001

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2806	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4935	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3781	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2806	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4354	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4355	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2319	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3926	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3227	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1647	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 121	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3232	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4980	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3782	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3227	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1647	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 121	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3232	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3384	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1541   e. wcel 2202   u. cun 3199   C_ wss 3201   {cpr 3674   <.cop 3676   U.cuni 3898   dom cdm 4731   ran crn 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742

This theorem is referenced by:  dmexg  5002  rnexg  5003  relfld  5272  relcoi2  5274