Theorem dmrnssfld 4993

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2803	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4927	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3775	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2803	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4346	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4347	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2317	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3919	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3224	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1644	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 121	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3229	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4972	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3776	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3224	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1644	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 121	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3229	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3380	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1538   e. wcel 2200   u. cun 3196   C_ wss 3198   {cpr 3668   <.cop 3670   U.cuni 3891   dom cdm 4723   ran crn 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734

This theorem is referenced by:  dmexg  4994  rnexg  4995  relfld  5263  relcoi2  5265