Theorem dmrnssfld 4684

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2622	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4622	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3543	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2622	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4073	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4074	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	syl5eqelr 2175	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3676	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3022	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1534	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 119	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3027	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4665	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3544	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3022	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1534	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 119	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3027	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3173	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1426   e. wcel 1438   u. cun 2995   C_ wss 2997   {cpr 3442   <.cop 3444   U.cuni 3648   dom cdm 4428   ran crn 4429

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-cnv 4436  df-dm 4438  df-rn 4439

This theorem is referenced by:  dmexg  4685  rnexg  4686  relfld  4946  relcoi2  4948