Theorem dmrnssfld 4908

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2755	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4843	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3713	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2755	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4273	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4274	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2277	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3852	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3169	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1609	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 121	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3174	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4887	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3714	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3169	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1609	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 121	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3174	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3325	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1503   e. wcel 2160   u. cun 3142   C_ wss 3144   {cpr 3608   <.cop 3610   U.cuni 3824   dom cdm 4644   ran crn 4645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-cnv 4652  df-dm 4654  df-rn 4655

This theorem is referenced by:  dmexg  4909  rnexg  4910  relfld  5175  relcoi2  5177