Theorem dmrnssfld 4810

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2692	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4745	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3637	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2692	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4185	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4186	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2228	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3772	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3101	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1578	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 120	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3106	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4789	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3638	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3101	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1578	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 120	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3106	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3256	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1469   e. wcel 1481   u. cun 3074   C_ wss 3076   {cpr 3533   <.cop 3535   U.cuni 3744   dom cdm 4547   ran crn 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by:  dmexg  4811  rnexg  4812  relfld  5075  relcoi2  5077