Theorem dmrnssfld 4867

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2729	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4802	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3682	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4233	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4234	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2254	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3817	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3141	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1586	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 120	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3146	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4846	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3683	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3141	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1586	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 120	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3146	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3297	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1480   e. wcel 2136   u. cun 3114   C_ wss 3116   {cpr 3577   <.cop 3579   U.cuni 3789   dom cdm 4604   ran crn 4605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615

This theorem is referenced by:  dmexg  4868  rnexg  4869  relfld  5132  relcoi2  5134