Theorem dmrnssfld 4940

Description: The domain and range of a class are included in its double union. (Contributed by NM, 13-May-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Proof of Theorem dmrnssfld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2774	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eldm2 4875	. . . 4 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
3	1	prid1 3738	. . . . . 6 |- x e. { x , y }
4		vex 2774	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
5	1, 4	uniop 4299	. . . . . . . . 9 |- U. <. x , y >. = { x , y }
6	1, 4	uniopel 4300	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. A -> U. <. x , y >. e. U. A )
7	5, 6	eqeltrrid 2292	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } e. U. A )
8		elssuni 3877	. . . . . . . 8 |- ( { x , y } e. U. A -> { x , y } C_ U. U. A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. A -> { x , y } C_ U. U. A )
10	9	sseld 3191	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( x e. { x , y } -> x e. U. U. A ) )
11	3, 10	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
12	11	exlimiv 1620	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. A -> x e. U. U. A )
13	2, 12	sylbi 121	. . 3 |- ( x e. dom A -> x e. U. U. A )
14	13	ssriv 3196	. 2 |- dom A C_ U. U. A
15	4	elrn2 4919	. . . 4 |- ( y e. ran A <-> E. x <. x , y >. e. A )
16	4	prid2 3739	. . . . . 6 |- y e. { x , y }
17	9	sseld 3191	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. A -> ( y e. { x , y } -> y e. U. U. A ) )
18	16, 17	mpi 15	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
19	18	exlimiv 1620	. . . 4 |- ( E. x <. x , y >. e. A -> y e. U. U. A )
20	15, 19	sylbi 121	. . 3 |- ( y e. ran A -> y e. U. U. A )
21	20	ssriv 3196	. 2 |- ran A C_ U. U. A
22	14, 21	unssi 3347	1 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A

Syntax hints:   E.wex 1514   e. wcel 2175   u. cun 3163   C_ wss 3165   {cpr 3633   <.cop 3635   U.cuni 3849   dom cdm 4674   ran crn 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-cnv 4682  df-dm 4684  df-rn 4685

This theorem is referenced by:  dmexg  4941  rnexg  4942  relfld  5210  relcoi2  5212