Theorem opabid 4291

Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61. (Contributed by NM, 14-Apr-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
opabid	|- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )

Proof of Theorem opabid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . 3 |- x e. _V
2		vex 2766	. . 3 |- y e. _V
3	1, 2	opex 4263	. 2 |- <. x , y >. e. _V
4		copsexg 4278	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
5	4	bicomd 141	. 2 |- ( z = <. x , y >. -> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph ) )
6		df-opab 4096	. 2 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
7	3, 5, 6	elab2 2912	1 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   <.cop 3626   {copab 4094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-opab 4096

This theorem is referenced by:  opabidw  4292  opelopabsb  4295  ssopab2b  4312  dmopab  4878  rnopab  4914  funopab  5294  funco  5299  fvmptss2  5639  f1ompt  5716  ovid  6043  enssdom  6830