Theorem opabid 4235

Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61. (Contributed by NM, 14-Apr-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
opabid	|- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )

Proof of Theorem opabid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2729	. . 3 |- x e. _V
2		vex 2729	. . 3 |- y e. _V
3	1, 2	opex 4207	. 2 |- <. x , y >. e. _V
4		copsexg 4222	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
5	4	bicomd 140	. 2 |- ( z = <. x , y >. -> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph ) )
6		df-opab 4044	. 2 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
7	3, 5, 6	elab2 2874	1 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   <.cop 3579   {copab 4042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044

This theorem is referenced by:  opelopabsb  4238  ssopab2b  4254  dmopab  4815  rnopab  4851  funopab  5223  funco  5228  fvmptss2  5561  f1ompt  5636  ovid  5958  enssdom  6728