Theorem opabid 4287

Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61. (Contributed by NM, 14-Apr-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
opabid	|- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )

Proof of Theorem opabid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2763	. . 3 |- x e. _V
2		vex 2763	. . 3 |- y e. _V
3	1, 2	opex 4259	. 2 |- <. x , y >. e. _V
4		copsexg 4274	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> ( ph <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) ) )
5	4	bicomd 141	. 2 |- ( z = <. x , y >. -> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph ) )
6		df-opab 4092	. 2 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
7	3, 5, 6	elab2 2909	1 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   <.cop 3622   {copab 4090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-opab 4092

This theorem is referenced by:  opabidw  4288  opelopabsb  4291  ssopab2b  4308  dmopab  4874  rnopab  4910  funopab  5290  funco  5295  fvmptss2  5633  f1ompt  5710  ovid  6036  enssdom  6818