Theorem xpsn 5655

Description: The cross product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsn.1	|- A e. _V
xpsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	|- ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. }

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsn.1	. 2 |- A e. _V
2		xpsn.2	. 2 |- B e. _V
3		xpsng 5654	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )
4	1, 2, 3	mp2an 423	1 |- ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. }

Syntax hints:   = wceq 1342   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   {csn 3570   <.cop 3573   X. cxp 4596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189

This theorem is referenced by:  dfmpt  5656  ixpsnf1o  6693  txdis  12818