Theorem xpsn 5512

Description: The cross product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsn.1	|- A e. _V
xpsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	|- ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. }

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsn.1	. 2 |- A e. _V
2		xpsn.2	. 2 |- B e. _V
3		xpsng 5511	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )
4	1, 2, 3	mp2an 418	1 |- ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. }

Syntax hints:   = wceq 1296   e. wcel 1445   _Vcvv 2633   {csn 3466   <.cop 3469   X. cxp 4465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056

This theorem is referenced by:  dfmpt  5513  ixpsnf1o  6533