Theorem xpsn 5694

Description: The cross product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsn.1	|- A e. _V
xpsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	|- ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. }

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsn.1	. 2 |- A e. _V
2		xpsn.2	. 2 |- B e. _V
3		xpsng 5693	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. }

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   {csn 3594   <.cop 3597   X. cxp 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225

This theorem is referenced by:  dfmpt  5695  ixpsnf1o  6738  txdis  13862