ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsn GIF version

Theorem xpsn 5457
Description: The cross product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsn.1 𝐴 ∈ V
xpsn.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
xpsn ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Proof of Theorem xpsn
StepHypRef Expression
1 xpsn.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 xpsn.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 xpsng 5456 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
41, 2, 3mp2an 417 1 ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  {csn 3441  cop 3444   × cxp 4426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009
This theorem is referenced by:  dfmpt  5458
  Copyright terms: Public domain W3C validator