Theorem xpsn 5672

Description: The cross product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
xpsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	⊢ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsn.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		xpsn.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		xpsng 5671	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
4	1, 2, 3	mp2an 424	1 ⊢ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583  ⟨cop 3586   × cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205

This theorem is referenced by:  dfmpt  5673  ixpsnf1o  6714  txdis  13071