Theorem xpsng 5671

Description: The cross product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )

Proof of Theorem xpsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5394	. . 3 |- ( B e. W -> ( { A } X. { B } ) : { A } --> { B } )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) : { A } --> { B } )
3		fsng 5669	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( { A } X. { B } ) : { A } --> { B } <-> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } ) )
4	2, 3	mpbid 146	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {csn 3583   <.cop 3586   X. cxp 4609   -->wf 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205

This theorem is referenced by:  xpsn  5672  dfmptg  5675  fmptsn  5685  mapsnconst  6672  intopsn  12621