ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsng Unicode version

Theorem xpsng 5456
Description: The cross product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 5191 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B }
)
21adantl 271 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } ) : { A } --> { B } )
3 fsng 5454 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( { A }  X.  { B }
) : { A }
--> { B }  <->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } ) )
42, 3mpbid 145 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  X.  { B } )  =  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   {csn 3441   <.cop 3444    X. cxp 4426   -->wf 4998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009
This theorem is referenced by:  xpsn  5457  dfmptg  5460  fmptsn  5470  mapsnconst  6431
  Copyright terms: Public domain W3C validator