Theorem xpsng 5884

Description: The cross product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )

Proof of Theorem xpsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5589	. . 3 |- ( B e. W -> ( { A } X. { B } ) : { A } --> { B } )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) : { A } --> { B } )
3		fsng 5881	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( { A } X. { B } ) : { A } --> { B } <-> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } ) )
4	2, 3	mpbid 147	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   <.cop 3712   X. cxp 4772   -->wf 5373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384

This theorem is used by:  xpsn  5885  dfmptg  5888  fmptsn  5904  mapsnconst  6976  intopsn  13687  grp1inv  13912  ixpsnbasval  14803