Theorem xpsng 5778

Description: The cross product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )

Proof of Theorem xpsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5494	. . 3 |- ( B e. W -> ( { A } X. { B } ) : { A } --> { B } )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) : { A } --> { B } )
3		fsng 5776	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( { A } X. { B } ) : { A } --> { B } <-> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } ) )
4	2, 3	mpbid 147	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3643   <.cop 3646   X. cxp 4691   -->wf 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297

This theorem is referenced by:  xpsn  5779  dfmptg  5782  fmptsn  5796  mapsnconst  6804  intopsn  13314  grp1inv  13554  ixpsnbasval  14343