Theorem dfmpt 5695

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4068 (although it requires that B be a set). (Contributed by NM, 24-Aug-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfmpt.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
dfmpt	|- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. }

Proof of Theorem dfmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5340	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A ( { x } X. { B } )
2		vex 2742	. . . . 5 |- x e. _V
3		dfmpt.1	. . . . 5 |- B e. _V
4	2, 3	xpsn 5694	. . . 4 |- ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. }
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
6	5	iuneq2i 3906	. 2 |- U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = U_ x e. A { <. x , B >. }
7	1, 6	eqtri 2198	1 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. }

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   {csn 3594   <.cop 3597   U_ciun 3888   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225

This theorem is referenced by:  fnasrn  5696  dfmpo  6226