Theorem reuind 2935

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
reuind.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
reuind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reuind	⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∃!𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reuind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuind.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	eleq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
3		reuind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	anbi12d 470	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)))
5	4	cbvexv 1911	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
6		r19.41v 2626	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
7	6	exbii 1598	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
8		rexcom4 2753	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
9		risset 2498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵)
10	9	anbi1i 455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
11	10	exbii 1598	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
12	7, 8, 11	3bitr4ri 212	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
13	5, 12	bitri 183	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
14		eqeq2 2180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵))
15	14	imim2i 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵)))
16		biimpr 129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴))
17	16	imim2i 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵)) → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴)))
18		an31 559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)))
19	18	imbi1i 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → 𝑧 = 𝐴))
20		impexp 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴)))
21		impexp 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
22	19, 20, 21	3bitr3i 209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
23	17, 22	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
24	15, 23	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
25	24	2alimi 1449	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ∀𝑥∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
26		19.23v 1876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
27		an12 556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
28		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) → (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
30	29	pm5.32ri 452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
31	27, 30	bitr4i 186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
32	31	exbii 1598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑦(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
33		19.42v 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
34	32, 33	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
35	34	imbi1i 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
36	26, 35	bitri 183	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
37	36	albii 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
38		19.21v 1866	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
39	37, 38	bitri 183	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
40	25, 39	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
41	40	expd 256	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐶 → (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))))
42	41	reximdvai 2570	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
43	13, 42	syl5bi 151	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
44	43	imp 123	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))
45		pm4.24 393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)))
46	45	biimpi 119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)))
47		anim12 342	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → (𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐴)))
48		eqtr3 2190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐴) → 𝑧 = 𝑤)
49	46, 47, 48	syl56 34	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
50	49	alanimi 1452	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
51		19.23v 1876	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤) ↔ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
52	51	biimpi 119	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤) → (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
53	52	com12 30	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
54	50, 53	syl5 32	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
55	54	a1d 22	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
56	55	ralrimivv 2551	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
57	56	adantl 275	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
58		eqeq1 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑤 = 𝐴))
59	58	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)))
60	59	albidv 1817	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)))
61	60	reu4 2924	. 2 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
62	44, 57, 61	sylanbrc 415	1 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∃!𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1346   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  ∃!wreu 2450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-v 2732

This theorem is referenced by: (None)