Theorem reuind 2956

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
reuind.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
reuind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reuind	⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∃!𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reuind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuind.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	eleq1d 2257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
3		reuind.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)))
5	4	cbvexv 1929	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓))
6		r19.41v 2645	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
7	6	exbii 1615	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
8		rexcom4 2774	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
9		risset 2517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵)
10	9	anbi1i 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
11	10	exbii 1615	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
12	7, 8, 11	3bitr4ri 213	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
13	5, 12	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓))
14		eqeq2 2198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵))
15	14	imim2i 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵)))
16		biimpr 130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴))
17	16	imim2i 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵)) → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴)))
18		an31 564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)))
19	18	imbi1i 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → 𝑧 = 𝐴))
20		impexp 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴)))
21		impexp 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
22	19, 20, 21	3bitr3i 210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐵 → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
23	17, 22	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
24	15, 23	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
25	24	2alimi 1466	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ∀𝑥∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
26		19.23v 1893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
27		an12 561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
28		eleq1 2251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) → (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
30	29	pm5.32ri 455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
31	27, 30	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
32	31	exbii 1615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑦(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
33		19.42v 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
34	32, 33	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)))
35	34	imbi1i 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
36	26, 35	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
37	36	albii 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
38		19.21v 1883	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
39	37, 38	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
40	25, 39	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
41	40	expd 258	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐶 → (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))))
42	41	reximdvai 2589	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ 𝜓) → ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
43	13, 42	biimtrid 152	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
44	43	imp 124	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))
45		pm4.24 395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)))
46	45	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)))
47		anim12 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → (𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐴)))
48		eqtr3 2208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑤 = 𝐴) → 𝑧 = 𝑤)
49	46, 47, 48	syl56 34	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
50	49	alanimi 1469	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
51		19.23v 1893	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤) ↔ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
52	51	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤) → (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
53	52	com12 30	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
54	50, 53	syl5 32	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
55	54	a1d 22	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
56	55	ralrimivv 2570	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
57	56	adantl 277	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
58		eqeq1 2195	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑤 = 𝐴))
59	58	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)))
60	59	albidv 1834	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)))
61	60	reu4 2945	. 2 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
62	44, 57, 61	sylanbrc 417	1 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑)) → ∃!𝑧 ∈ 𝐶 ∀𝑥((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1361   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2159  ∀wral 2467  ∃wrex 2468  ∃!wreu 2469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2170

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-v 2753

This theorem is referenced by: (None)