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Theorem reuind 2818
Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
reuind.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
reuind.2 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
reuind ((∀𝑥𝑦(((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴𝐶𝜑)) → ∃!𝑧𝐶𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reuind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reuind.2 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
21eleq1d 2156 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
3 reuind.1 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
42, 3anbi12d 457 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝐶𝜑) ↔ (𝐵𝐶𝜓)))
54cbvexv 1843 . . . . 5 (∃𝑥(𝐴𝐶𝜑) ↔ ∃𝑦(𝐵𝐶𝜓))
6 r19.41v 2523 . . . . . . 7 (∃𝑧𝐶 (𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ (∃𝑧𝐶 𝑧 = 𝐵𝜓))
76exbii 1541 . . . . . 6 (∃𝑦𝑧𝐶 (𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧 = 𝐵𝜓))
8 rexcom4 2642 . . . . . 6 (∃𝑧𝐶𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ ∃𝑦𝑧𝐶 (𝑧 = 𝐵𝜓))
9 risset 2406 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑧𝐶 𝑧 = 𝐵)
109anbi1i 446 . . . . . . 7 ((𝐵𝐶𝜓) ↔ (∃𝑧𝐶 𝑧 = 𝐵𝜓))
1110exbii 1541 . . . . . 6 (∃𝑦(𝐵𝐶𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧𝐶 𝑧 = 𝐵𝜓))
127, 8, 113bitr4ri 211 . . . . 5 (∃𝑦(𝐵𝐶𝜓) ↔ ∃𝑧𝐶𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
135, 12bitri 182 . . . 4 (∃𝑥(𝐴𝐶𝜑) ↔ ∃𝑧𝐶𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
14 eqeq2 2097 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵))
1514imim2i 12 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)))
16 bi2 128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴))
1716imim2i 12 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)) → (((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)))
18 an31 531 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ∧ (𝐴𝐶𝜑)))
1918imbi1i 236 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ∧ (𝐴𝐶𝜑)) → 𝑧 = 𝐴))
20 impexp 259 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)))
21 impexp 259 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ∧ (𝐴𝐶𝜑)) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
2219, 20, 213bitr3i 208 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
2317, 22sylib 120 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
2415, 23syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
25242alimi 1390 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦(((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
26 19.23v 1811 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
27 an12 528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ↔ (𝐵𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵𝜓)))
28 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝐶𝐵𝐶))
2928adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝑧𝐶𝐵𝐶))
3029pm5.32ri 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵𝜓)) ↔ (𝐵𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵𝜓)))
3127, 30bitr4i 185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ↔ (𝑧𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵𝜓)))
3231exbii 1541 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ↔ ∃𝑦(𝑧𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵𝜓)))
33 19.42v 1834 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦(𝑧𝐶 ∧ (𝑧 = 𝐵𝜓)) ↔ (𝑧𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓)))
3432, 33bitri 182 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) ↔ (𝑧𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓)))
3534imbi1i 236 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑦(𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
3626, 35bitri 182 . . . . . . . . 9 (∀𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
3736albii 1404 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥((𝑧𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
38 19.21v 1801 . . . . . . . 8 (∀𝑥((𝑧𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓)) → ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
3937, 38bitri 182 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵 ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓)) → ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
4025, 39sylib 120 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦(((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧𝐶 ∧ ∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓)) → ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
4140expd 254 . . . . 5 (∀𝑥𝑦(((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (𝑧𝐶 → (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴))))
4241reximdvai 2473 . . . 4 (∀𝑥𝑦(((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑧𝐶𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∃𝑧𝐶𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
4313, 42syl5bi 150 . . 3 (∀𝑥𝑦(((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑥(𝐴𝐶𝜑) → ∃𝑧𝐶𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴)))
4443imp 122 . 2 ((∀𝑥𝑦(((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴𝐶𝜑)) → ∃𝑧𝐶𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴))
45 pm4.24 387 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝜑) ↔ ((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐴𝐶𝜑)))
4645biimpi 118 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝜑) → ((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐴𝐶𝜑)))
47 prth 336 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → (((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐴𝐶𝜑)) → (𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴)))
48 eqtr3 2107 . . . . . . . 8 ((𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴) → 𝑧 = 𝑤)
4946, 47, 48syl56 34 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
5049alanimi 1393 . . . . . 6 ((∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
51 19.23v 1811 . . . . . . . 8 (∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝑤) ↔ (∃𝑥(𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
5251biimpi 118 . . . . . . 7 (∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝑤) → (∃𝑥(𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝑤))
5352com12 30 . . . . . 6 (∃𝑥(𝐴𝐶𝜑) → (∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
5450, 53syl5 32 . . . . 5 (∃𝑥(𝐴𝐶𝜑) → ((∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
5554a1d 22 . . . 4 (∃𝑥(𝐴𝐶𝜑) → ((𝑧𝐶𝑤𝐶) → ((∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
5655ralrimivv 2454 . . 3 (∃𝑥(𝐴𝐶𝜑) → ∀𝑧𝐶𝑤𝐶 ((∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
5756adantl 271 . 2 ((∀𝑥𝑦(((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴𝐶𝜑)) → ∀𝑧𝐶𝑤𝐶 ((∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
58 eqeq1 2094 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴))
5958imbi2d 228 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → (((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)))
6059albidv 1752 . . 3 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)))
6160reu4 2807 . 2 (∃!𝑧𝐶𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (∃𝑧𝐶𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑧𝐶𝑤𝐶 ((∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
6244, 57, 61sylanbrc 408 1 ((∀𝑥𝑦(((𝐴𝐶𝜑) ∧ (𝐵𝐶𝜓)) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥(𝐴𝐶𝜑)) → ∃!𝑧𝐶𝑥((𝐴𝐶𝜑) → 𝑧 = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1287   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360  ∃!wreu 2361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-v 2621
This theorem is referenced by: (None)
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