Theorem bj-intexr 16604

Description: intexr 4245 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-intexr	⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-intexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-vprc 16592	. . 3 ⊢ ¬ V ∈ V
2		inteq 3936	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
3		int0 3947	. . . . 5 ⊢ ∩ ∅ = V
4	2, 3	eqtrdi 2280	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
5	4	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ V ∈ V))
6	1, 5	mtbiri 682	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∩ 𝐴 ∈ V)
7	6	necon2ai 2457	1 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  Vcvv 2803  ∅c0 3496  ∩ cint 3933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-bdn 16513  ax-bdel 16517  ax-bdsep 16580

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-v 2805  df-dif 3203  df-nul 3497  df-int 3934

This theorem is referenced by: (None)