Theorem bj-intexr 13277

Description: intexr 4083 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-intexr	⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-intexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-vprc 13265	. . 3 ⊢ ¬ V ∈ V
2		inteq 3782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
3		int0 3793	. . . . 5 ⊢ ∩ ∅ = V
4	2, 3	eqtrdi 2189	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
5	4	eleq1d 2209	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ V ∈ V))
6	1, 5	mtbiri 665	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∩ 𝐴 ∈ V)
7	6	necon2ai 2363	1 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  Vcvv 2689  ∅c0 3368  ∩ cint 3779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-bdn 13186  ax-bdel 13190  ax-bdsep 13253

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-v 2691  df-dif 3078  df-nul 3369  df-int 3780

This theorem is referenced by: (None)