Theorem bj-intexr 13421

Description: intexr 4107 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-intexr	⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-intexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-vprc 13409	. . 3 ⊢ ¬ V ∈ V
2		inteq 3806	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
3		int0 3817	. . . . 5 ⊢ ∩ ∅ = V
4	2, 3	eqtrdi 2203	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
5	4	eleq1d 2223	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ V ∈ V))
6	1, 5	mtbiri 665	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∩ 𝐴 ∈ V)
7	6	necon2ai 2378	1 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ≠ wne 2324  Vcvv 2709  ∅c0 3390  ∩ cint 3803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-bdn 13330  ax-bdel 13334  ax-bdsep 13397

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-v 2711  df-dif 3100  df-nul 3391  df-int 3804

This theorem is referenced by: (None)